Analisis unam

Una introducci´n a la medida e integral o de Lebesgue (versi´n preliminar) o
Roberto Quezada Batalla Departamento de Matem´ticas, UAM-I a

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Introducci´n o
Estas notas son una breve introducci´n a la teor´ de la medida e integral o ıa de Lebesgue, incluyen conceptos y resultados considerados cl´sicos y que todo a joven matem´tico debe conocer. a Hemos hecho un intento serio por haceraccesible al lector los resultados m´s a importantes de la teor´ en toda su extensi´n sin simplificarlos, discuti´ndolos ıa o e de una manera completa y sin dejar huecos. Para entender el material de estas notas s´lo se necesita un buen conocimieto del C´lculo Diferencial e Integral, o a en la forma que se desarrolla en los cursos de C´lculo Avanzado. a Nuestro objetivo principal es presentar aquellaspartes de la teor´ que son ıa indispensables y encuentran aplicaci´n inmediata en otras ´reas, por ejemplo o a en Probabilidad y en F´ ısica Matem´tica. Consecuentemente, otros temas como a integraci´n y diferenciaci´n, medidas en espacios abstractos, espacios Lp , series o o de Fourier, integral de Lebesgue-Stieltjes, tambi´n considerados cl´sicos, han e a quedado fuera. Los lectores interesadosen estos temas pueden estudiarlos en los cursos m´s avanzados de An´lisis Matem´tico o bien pueden leerlos en las a a a referencias incluidas al final de las notas. El Cap´ ıtulo 1 contiene un breve repaso de la integral de Riemann, presentada de una manera tal que la integral de Lebesgue resulta ser una extensi´n natural o de ella obtenida al reemplazar la clase de las funciones aproximantes,funciones escalonadas, por la clase m´s general de las funciones simples. a La medida de Lebesgue en la recta real se desarrolla en el Cap´ ıtulo 2, incluyendo la construcci´n de la σ-´lgebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles o a a partir de la condici´n de Caratheodory, que interpretamos como una condici´n o o de separabilidad; en la Proposici´n 2.3.18 demostramos varias condiciones equivoalentes a la de Caratheodory, las cuales permiten interpretar de manera intuitiva el concepto de medibilidad. La clase de las funciones medibles se trata en el Cap´ ıtulo 3, incluyendo los resultados sobre aproximaci´n por funciones continuas. La integral de Lebesgue o se trata en el Cap´ ıtulo 4, primero para funciones medibles y acotadas definidas en subconjuntos de medida finita, despu´s extendemoseste concepto a la clase de e funciones medibles no negativas y finalmente a la clase de las funciones medibles con valores complejos. Consideramos que esta es una versi´n preliminar de las notas porque todav´ o ıa requieren ser completadas, por ejemplo en la parte de los ejercicios para el estudiante.

Cap´ ıtulo 1

La Integral de Riemann
Recordemos brevemente la construcci´n y algunaspropiedades de la integral de o Riemann en intervalos acotados de R. Una partici´n P de [a, b] es una colecci´n finita o o {x0 = a < x1 < · · · < xn = b}. La norma de P es P = max1≤j≤n |xj − xj−1 |. Sean P una partici´n de [a, b], f una funci´n definida en [a, b] y o o ξi ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, . . . , n, una elecci´n de puntos en [a, b]. Def´ o ınase
n

R(f, P, ξ) =
i=1

f (ξi )|xi − xi−1 |

A estasuma la llamaremos Suma de Riemann de f relativa a la partici´n P o de [a, b] y la elecci´n ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }. Este nombre nos permitir´ recordar o a que para cada f esta suma depende de la partici´n P y de la elecci´n ξ. o o Definici´n 1.0.1. (Riemann-integrabilidad). o Una funci´n f es Riemann integrable (R-integrable) si existe un n´mero real o u R tal que para cualquier > 0 ∃ δ > 0,tal que ∀P partici´n de [a, b] con o P < δ y toda elecci´n ξ se tiene o |R(f, P, ξ) − R| < . De manera breve: (∀ > 0) (∃δ > 0) (∀P) (∀ξ) [ P R1 , que satisfacen la definici´n anterior o 1 entonces para < (R2 − R1 ), ∃δ > 0 tal que ∀P y ∀ξ se tiene que si 2 P < δ entonces |R(f, P, ξ) − R1 | < y |R(f, P, ξ) − R2 | < . Entonces utilizando desigualdad del tri´ngulo obtenemos que a |R1 − R2 | ≤ 2 , 3...