Analisis Vectorial APUNTES

06 de Marzo del 2015

DIDIER
OJEDA
GUILLÉN

ANÁLISIS VECTORIAL

Capítulo I | VECTORES Y ESCALARES
Escalar
Vector

VECTOR
Un vector puede denotarse como A o
siguientes:

. Gráficamente, los componentes de un vector son los

 Dos vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud y dirección.
 Un vector A tiene su opuesto, el cual tendrá dirección contraria y la magnitud será la misma
y sedenota como –A
Otras cantidades solo tienen magnitud; a dichas cantidades se les denomina escalares. Por ejemplo,
la temperatura, la longitud o la masa.

ALGEBRA VECTORIAL
Las operaciones básicas para vectores son la suma de vectores y multiplicación por un escalar.

Suma de vectores (ley del paralelogramo)
Considere los vectores A y B. La suma o resultante de A y B es el vector C que se formacuando se
coloca el punto inicial de B en el punto terminal de A, para luego unir el punto inicial de A con el
punto terminal de B. La suma C se escribe C = A+B. Esta definición es equivalente a la ley del
paralelogramo para la suma de vectores.

La resta o diferencial de dos vectores se denota como: A – B, y su obtención de manera gráfica se
hace de la misma manera.

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La extensión a sumas de másde dos vectores es inmediata. Por ejemplo, considere los vectores A, B,
C y D, la forma de obtener la suma o resultante E de los vectores A, B, C y D, es conectando el final
de cada vector con el principio del siguiente.

Multiplicación de un vector por un escalar
Cuando multiplicamos un vector A por un escalar m, tenemos los siguientes casos:



A

2A

-3A

Leyes del Álgebra Vectorial
Supongaque A, B y C son vectores y m y n son escalares. Entonces se cumplen las siguientes leyes:

Si se satisfacen las 8 propiedades se tiene un espacio vectorial.

Vectores unitarios rectangulares
Un vector unitario es aquel que tiene como magnitud a la unidad; es decir, |Â| = 1

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Para calcular un vector unitario con la misma dirección que otro vector se hace de la siguiente
manera, tomando al vectorA como ejemplo:
Donde:
 = Vector unitario
A = Vector A
|A| = Magnitud del vector A
Los vectores
son vectores unitarios que tienen dirección de los ejes
en un eje de coordenadas rectangulares en tres dimensiones.

; respectivamente

Componentes de un Vector
Cualquier vector A puede representarse con su punto inicial por decir (0, 0, 0) y su punto final
(
); entonces podríamos representar alvector como una combinación de dichos escalares
y vectores unitarios rectangulares:
A=
Los escalares

son las componentes de A en las direcciones

, respectivamente.

Para obtener la magnitud de A:

Vector de posición
Denominaremos vector de posición al vector que va del origen del sistema
de coordenadas al punto P, si consideramos a P como un punto cualquiera
ubicado en un espacio definido porcoordenadas rectangulares P (
),

Suma y multiplicación por escalares
Se tienen:

4

Entonces para sumar y multiplicar:

Dependencia e Independencia Lineal
Se dan los vectores: A1, A2, … , An y los escalares a1, a2, … , an. Entonces podemos definir un vector:

Entonces si para a1A1, a2A2, … , anAn = 0 existe una solución distinta de la trivial, el conjunto es
linealmente independiente.

CAMPO ESCALAR
Sia cada punto del espacio
campo escalar. Por ejemplo:

le asignamos un escalar, entonces habremos definido un

CAMPO VECTORIAL
Si a cada punto del espacio
vector. Por ejemplo:

le asignamos un vector, entonces habremos definido un campo

PROBLEMAS

a)
b)
c) Calcular A, B, C unitarios
|A| =
|B| =
|C| =

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d) Verificar la independencia lineal de A, B y C

 Demostrar que

Entonces:

Determinemos(1, 2, 3) |A| =

Entonces

Nota: colineales: Si 2 vectores están sobre la misma línea recta; coplanares: Si 3 vectores están en el
mismo plano.

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Ejemplo:

PROBLEMAS
 Demostrar al unir los puntos medios de un cuadrilátero forman un paralelogramo

Pero

Tienen misma magnitud pero sentido contrario
 ¿Ecuación de la recta que pasa por P y Q?

7

Graficar campos vectoriales

 Encontrar la...