Analisis vectorial

Tema 0 Introduccion al analisis vectorial
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.El operador gradiente Flujo de un campo vectorial. El operador divergencia. Teorema de la divergencia. Expresion de la divergencia encoordenadas cartesianas. Circulación de un campo vectorial El operador rotacional Teorema de Stokes Expresion del rotacional en coordenadas cartesianas. El operador laplaciano.

Ejercicios propuestosGradiente de un campo escala
Sea un campo escalar F(r). La variación de la función al pasar del punto r -donde el campo es F(r)al punto r+dr es: dF=F(r+dr )-F(r) Si la función varia lentamente,la variación de la función dF y la de la variable dr son proporcionales: r+dr r dr

dF= A dr

La magnitud que hace proporcional un escalar y un vector ha de ser un vector. El vector que haceproporcionales dF y dr es el gradiente de F en el punto r.

dF= [grad F ]dr
El vector

grad F esta definido en todos los puntos fi campo vectorial.

El gradiente es la generalización de la derivadaen funciones RÆR, donde df=f’dx Moviéndose en una superficie equipotencial -F(r)= F0- se tiene: dF=0 , para cualquier dr que descanse sobre esa superficie dF= [grad F ]dr=0 fi [grad F ]^dr Es decir, elgrad F(r) es un vector normal a las superficies equipotenciales.

F(r)= F0

El gradiente en coordenadas cartesianas. En coordenadas cartesianas el vector r esta dado por las componentes x,y,zr=xux+yuy+zuz. Una variación arbitraria dr del vector r se obtiene variando infinitesimalmente las tres componentes dr=dxux+dyuy+dzuz.

dF = F (r + dr) - F (r) = F (x + dx, y + dy,z + dz) - F (x, y,z)=

∂F ∂F ∂F dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

†

Definición de gradiente

= gradF dr = gradF x dx + gradF y dy + gradF z dz
†
Igualando los coeficientes de dx,dy,dz

†

∂F gradF x = ∂x

†

∂F∂F ∂F gradF = ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z †

A veces el resultado anterior

∂F ∂F ∂F gradF = ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z
se escribe

gradF = —F
donde † es el operador nabla —

†
†

∂ ∂ ∂ — ≡ ux +...