analisis vectorial

Capítulo

2

Soluciones ejercicios

Ejercicio 2.1 Demuestre las identidades
(a × b) × c = (a · c)b − (b · c)a.
(a × b) · c = a · (b × c).
¯2
¯
¯
¯
¯a × b¯ = a2 b2 − (a · b)2 .

Solución. Deben haber muchas demostraciones. La tercera es fácil pues
si φ es el ángulo entre a y b
¯
¯2
¯
¯
¯a × b¯ = a2 b2 sin2 φ =
= a2 b2 (1 − cos2 φ)
= a2 b2 − a2 b2 cos2 φ
= a2 b2 − (a · b)2 .La segunda, intercambiar la cruz con el punto, se demuestra así:
(a × b) · c = (ay bz − az by )cx + (az bx − ax bz )cy + (ax by − ay bx )cz
= cx ay bz − cx az by + cy az bx − cy ax bz + cz ax by − cz ay bx
y
a · (b × c) = (by cz − bz cy )ax + (bz cx − bx cz )ay + (bx cy − by cx )az
= cx ay bz − cx az by + cy az bx − cy ax bz + cz ax by − cz ay bx

18

Soluciones ejerciciosresultan iguales. La primera es larga. Veamos la componente x de (a ×
b) × c, esta es:
(a × b)y cz − (a × b)z cy = (az bx − ax bz )cz − (ax by − ay bx )cy =
cz az bx − cz ax bz − cy ax by + cy ay bx = (cy ay + cz az )bx − (cz bz + cy by )ax =
(c · a − cx ax )bx − (c · b − cx bx )ax = (c · a)bx − (c · b)ax ,

de modo que es claro que algo similar ocurre con las otras dos componentes y luego
(a × b)× c = (c · a)b − (c · b)a.
N

Ejercicio 2.2 Si los lados de un triángulo son a, b, c determine los ángulos
del triángulo.
Solución. Podemos obtenerlos de varias maneras, por ejemplo del teorema del coseno
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ,
o bien
cos γ =

a2 + b2 − c2
,
2ab

y otras dos similares
a2 + c2 − b2
,
2ac
c2 + b2 − a2
,
cos β =
2bc

cos α =

C
b
A

γ

α

a
cβ
B

19
N
Ejercicio 2.3 Considere los puntos cuyas coordenadas son A = (1, 1, 1),
B = (1, 2, 1), C = (−1, 2, 0) determine
a) El área del triángulo ABC.
b) Los ángulos del triángulo ABC.
c) Las magnitudes de los lados del triángulo ABC.
d) Las alturas del triángulo ABC.
Solución. Los vectores con magnitud y dirección los lados del triángulo
pueden escribirse
C
b

γ

α

A

a
cβ
B

−
→
c = AB = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) = (0, 1, 0)
−
−
→
a = BC = (−1, 2, 0) − (1, 2, 1) = (−2, 0, −1)
−
→
b = CA = (1, 1, 1) − (−1, 2, 0) = (2, −1, 1)
de manera que
c × a = (0, 1, 0) × (−2, 0, −1) = (−1, 0, 2)
b × c = (2, −1, 1) × (0, 1, 0) = (−1, 0, 2)
a × b = (−2, 0, −1) × (2, −1, 1) = (−1, 0, 2)
entonces el área del triángulo es
A=

1√
1
|(−1, 0, 2)| =
5.
2
2las magnitudes de los lados son
|c| = |(0, 1, 0)| = 1

20

Soluciones ejercicios
¯ ¯
√
¯ ¯
¯b¯ = |(2, −1, 1)| = 6
√
|a| = |(−2, 0, −1)| = 5
los ángulos están dados por
√
|b×c|
sin α = b |c| = √5
6
||
√
|c×a|
sin β = |a||c| = √5 = 1
5
|b×a| √√√
1
sin γ = |a| b = 5 5 6 = √6
||
las alturas del triángulo se calculan de acuerdo a
¯ ¯
√
¯ ¯
hC = ¯b¯ sin α = 5,
√
5
hB =|a| sin γ = √ ,
6
hA = |c| sin β = 1.
N

Ejercicio 2.4 Considere un paralelógramo donde se dan tres vértices A =
(0, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0).
a) Determine el cuarto vértice.
b) Determine el área del paralelógramo.
c) Determine las longitudes de las diagonales.
Solución. Construyamos los vectores
−
→
−
→ −
→
AC = OC − OA = (1, 0, −1) ,
−
→
−
−
→ −
→
AB = OB − OA =(1, −1, 0) ,
de manera que

−
−
→ −
→ −
→
AD = AB + AC = (2, −1, −1) ,

entonces el cuarto vértice está en la posición (esta es una solución de otras
posibles)
−→ −
−
→ −
−
→
OD = OA + AD = (2, 0, 0)

21
El área del paralelógramo será
¯−
√
→¯
¯ → − ¯
A = ¯AB × AC ¯ = |(1, 1, 1)| = 3,

donde las longitudes de las diagonales serán
¯−
√
→¯
¯ → − ¯
¯AB + AC ¯ = |(2,−1, −1)| = 6,
¯−
√
→¯
¯ → − ¯
¯AB − AC ¯ = |(0, −1, 1)| = 2.
N

Ejercicio 2.5 Escriba √ ecuación de un plano que es perpendicular a la
la
dirección n = (1, −1, 1)/ 3 y que pasa a distancia 3 del origen.
ˆ
Solución. La ecuación resulta
n · r = 3,
ˆ
o sea

√
x − y + z = 3 3.
N

Ejercicio 2.6 Sea una recta
x = 2t + 1,
y = −t + 2,
z = 3t − 1,
siendo t un parámetro. Determine...