Analisis vectorial

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE


ALUMNO:
FRANCISCO RUÍZ DÍAZ

DOCENTE:
ABEL NOE MÉNDEZ UH
MATERIA:
ANALISIS VECTORIAL
TRABAJO:
INVESTIGACIÓN
CUATRIMESTRE Y GRUPO:
7° “B”
FECHA:
23 DE NOVIEMBRE DEL 2011

Integración de funciones vectoriales:
La integral de una función vectorial que depende de un parámetro, es la integral de las funciones quela componen.
Si, r(t)=f(t)i+g(t)j→ ∫r(t) =∫f(t) i+∫g(t)j para una función en el plano e integral indefinida.
∫_a^b〖r(t)=∫_a^bf(t)i+∫_a^b〖g(t)j Para una función en el plano e integral definida.
Si, r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k→ ∫r(t) =∫f(t) i+∫g(t)j+∫h(t)k para una función en el plano e integral indefinida.
∫_a^b〖r(t)=∫_a^bf(t)i+∫_a^b〖g(t)j〗〗+∫_a^b〖h(t)k〗 Para una función en el
plano e integraldefinida.
Ejemplo:
Hallar la integral de las siguientes funciones vectoriales:
r(t)=f(t)i+g(t)j donde f(t)=e^√t y g(t)=3t^3
Integramos las funciones f(t) y g(t)
∫〖f(t)=∫〖e^√t dt〗=∫〖e^√t.√t/√t dt→=∫〖2ue^u du〗=2e^u (u-1)=2e^√x (√x-1)〗〗
∫〖g(t)=〗 ∫〖4t^3 dt〗=(4t^4)/4=t^4

Entonces, tenemos:
∫〖r(t)〗=∫〖f(t)dt+∫〖g(t)dt〗〗=2e^√x (√x-1)i+t^4 j
r(t)=sen(t)i+sec⁡(t) tan⁡(t)j+1/(t√(t^2-a^2 ))∫〖r(t)dt=∫〖sen(t)dt i+∫〖sec⁡(t) tan⁡(t)j+∫1/(t√(t^2-a^2 ))〗〗=-cos⁡(t)i+sec⁡(t)j+1/a Arcsec(t/a)〗
Integración de linea
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
* el cálculo dela longitud de una curva en el espacio,
* el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,
* o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúensobre el mismo.

Integral curvilínea de un campo escalar
Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t  [a, b], está definida como:

donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales detrayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).
[editar]Integral curvilínea de un campo vectorial
Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t  [a, b], está definida como:

donde  es el producto escalar y r:[a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización cuando el campo vectorial es conservativo. El signo de estas integrales depende del sentido de recorrido. Llamamos positivo al sentido antihorario.
Otra forma de visualizar estaconstrucción es considerar que

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par  donde

es una 1-forma.

Integrales de superficie y volumen
La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, esaquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.
Se define la integral de superficie de una función escalar (real) F(x,y,z) en el espacio tridimensional R3 respecto a una superficie S representada por la función vectorial continua . Si la superficie S es la imagen de la región T en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

en que  son las derivadas parciales de la...