Analisis vectorial

Análisis Vectorial
En este capítulo completamos y llevamos a su culmen la teoría del Cálculo mostrando los resultados más espectaculares: Teoremas de Green, de la divergencia y de Stokes.

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Índice general
1. 2. 3. 4. 5. Análisis Vectorial 5.1. Integrales de línea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Curvas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2.Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Integral de línea de un campo escalar . . . . . . . . . . . 5.1.4. Propiedades de la integral de línea de un campo escalar 5.1.5. Interpretaciones de la integral. . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Integrales de línea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . .5.2.1. Integrales curvilíneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Distintas interpretaciones de la integral curvilínea. . . . . 5.2.4. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Los teoremas de Green y de la divergencia en el plano . . . . . . 5.3.1. Regiones compactas del plano . . . . . . . . . .. . . . . 5.3.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Teorema de la divergencia en el plano . . . . . . . . . . . 5.3.4. Rotación de un campo vectorial en R2 . . . . . . . . . . 5.3.5. Relación de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Integrales de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Parametrización de superficies en R3 . . . . .. . . . . . 5.4.2. Espacio tangente y Plano tangente. . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Orientación de una superficie. . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Área de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Integrales de superficie de campos escalares . . . . . . . 5.4.6. Integrales de superficie de un campo vectorial . . . . . . 5.4.7. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 5.5. Teoremas de Stokes y de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 9 11 13 13 13 16 17 17 19 21 23 23 25 27 29 31 31 32 33 35 37 39 39 42 43 44 45 46 48 494 5.5.1. 5.5.2. 5.5.3. 5.5.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . Teorema de la divergencia en el espacio Identidades de operadores . . . . . . . Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÍNDICE GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 51 52 53

Capítulo 1

5

6

CAPÍTULO 1.

Capítulo 2

78

CAPÍTULO 2.

Capítulo 3

9

10

CAPÍTULO 3.

Capítulo 4

11

12

CAPÍTULO 4.

Capítulo 5 Análisis Vectorial
5.1. Integrales de línea de un campo escalar

Sumario
En esta lección introduciremos el concepto de integral a lo largo de una curva de un campo escalar, llamada también integral de línea respecto de la longitud de arco. El contenido completo de esta lecciónse articula de la siguiente manera: V.1.1 Curvas. V.1.2 Longitud de una curva. V.1.3 Integral de línea respecto de un campo escalar. V.1.4 Propiedades de la integral de línea. V.1.5 Interpretaciones de la integral de línea. V.1.6 Relación de ejercicios.

5.1.1.

Curvas en Rn

Recordemos que una curva en Rn es una función continua γ : [a, b] −→ Rn . se dice que dicha curva se dice regular sila curva γ es de clase C 1 en [a, b]. El ejemplo más sencillo de curva regular es el segmento: Dados dos puntos x e y de Rn , se define el segmento de extremos x e y, [x, y], como la curva γ : [0, 1] −→ Rn , definida por γ(t) = (1 − t)x + ty. 13

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§V.1. Integrales de línea de un campo escalar

Llamaremos traza ó gráfica de la curva γ a la imagen de dicha curva, γ ∗ = γ([a, b]). A los...