Analisis Vectorial

PRELIMINARES
1. Expresión general de un vector

Todo vector del espacio de tres dimensiones se puede escribir en la forma  siendo ax, ay, az las componentes del vector  y los vectores  vectores unitarios dirigidos según los ejes coordenados x,y,z. El módulo del vector viene dado por:
(1)
2. Ángulos directores de un vector
Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos que forma con los ejes coordenados x,y,z, según muestra la Fig 1.1. Los cosenos directores se pueden obtener sin más que observar que:
(2)
siendo  el módulo del vector.De (1) y (2) se obtiene la relación entre los ángulos directores:
(3)
3.Vector Unitario
Vector unitario es aquel que puede tener cualquier dirección, pero su módulo es unidad. Para obtener un vector unitario a partir de unvector dado , basta dividir éste entre su módulo. El vector resultante tiene la misma dirección y sentido que el vector dado.Si  es el módulo del vector y llamamos  al vector unitario buscado, tendremos:
(4)
OPERACIONES CON VECTORES
4. Suma y diferencia de vectores
El vector suma de un conjunto de vectores se obtiene sumando algebraicamente sus componentes,de acuerdo con la expresión:

5.Producto escalar de vectores
Se define el producto escalar de dos vectores  así:
(5)
En función de las componentes de ambos vectores la expresión (5) toma la forma:
(6)
6. Proyección de un vector sobre otro
La proyección de un vector sobre otro viene dada por la siguiente expresión:

que resulta ser otro vector como se desprende de la definición (5) y de la Fig 2.1.
7. Producto vectorial devectores
El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector, cuya DIRECCIÓN es perpendicular al plano determinado por ambos vectores, de SENTIDO el que proporciona la regla del tornillo al girar el primer vector sobre el segundo por el camino angular más corto y de MODULO el que resulta de la siguiente expresión:
(7)
Si expresamos los vectores en función de sus componentes,el vector resultante de la operación producto vectorial es:
(8)
donde ahora el vector se obtiene en función de sus componentes.
« El módulo del producto vectorial de dos vectores equivale al área del paralelogramo definido por ambos » |
8. Producto mixto de tres vectores
Sean los vectores . La expresión  se conoce como producto mixto de dichos vectores. A partir de las expresiones (6) y (8),el producto mixto expresado en función de las componentes de los vectores es:
(9)
« El producto mixto de tres vectores representa el volumen del paralelepípedo determinado por ellos » |
De lo anterior se deduce que si el producto mixto de tres vectores es nulo, los vectores son coplanarios.
9. Doble producto vectorial
Dados los vectores , llamaremos doble producto vectorial de los mismos ala expresión:
(10)
10. Momento de un vector respecto de un punto
Se define el momento de un vector respecto de un punto O a un vector  que verifica la condición:
(11)
Observar que se trata de un producto vectorial de dos vectores,por lo que si los puntos son  O(xo,yo,zo) y A(xA,yA,zA), el vector momento tiene la expresión:
o bien  si O(0,0,0).
11. Momento de un vector respecto de un ejeSea un vector  cuyo momento respecto a un punto O es el dado por la expresión (11) y sea E une eje que pasa por el punto O, de manera que  sea un vector unitario que señala la dirección y sentido de E.  El momento del vector respecto al eje E,  ME , viene dado por la expresión:
(12)
Si los vectores de la fórmula anterior se expresan en función de sus componentes cartesianas, podremos escribir:(13)
12. Derivada de un vector
Sea  una función vectorial del escalar t. Si escribimos  en función de sus componentes:

y dado que los vectores unitarios son constantes (en módulo, dirección y sentido) tendremos que el vector derivada respecto del tiempo es:
(14)
13. Derivadas de los productos escalar y vectorial de vectores
La derivada de un producto escalar de vectores sigue las reglas...