Analisis Vectorial

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato

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VECTORES EN EL ESPACIO
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIÓN LINEAL, BASE EJERCICIO 1 :

r r r r Dados los vectores a (1, 2, 3 ), b (1, 1, 1), c (1, 0, 5 ) y d (− 1, 1, 3 ):

a) ¿Forman una base de R3?

r r r r b) Expresa, si es posible, el vector d como combinación lineal de a, b y c.Solución: a) No forman una base, pues cuatro vectores en R3 siempre son linealmente dependientes. r r r r b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: d = x a + y b + z c (-1, 1, 3) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(1, 0, 5) (-1, 1, 3) = (x + y + z, 2x + y, 3x + y + 5z) x + y + z = −1 r r r r  2x + y = 1  Resolvemos el sistema por Gauss y obtenemos : x = 2, y = - 3, z = 0 ⇒ d = 2a − 3b + 0c3 x + y + 5z = 3   EJERCICIO 2 : r r r r a) Se sabe que u, v y w son linealment e dependientes. ¿Podemos asegurar que u es r r combinación lineal de v y w? Justifica tu respuesta. r b) Halla las coordenadas del vector a (4, 3, 7 ) respecto de la base B = {(2, 1, 0), (1,0,-2),(0, 0, 3)}. Solución: r r r a) No. Por ejemplo, si tomamos u (1, 0, 0 ), v (0, 1, 0 ), y w (0, 2, 0 ): r r − Sonlinealment e dependient es, pues w = 2v. r r r − Sin embargo, u no es combinació n lineal de v y w. r r r b) Llamamos b (2, 1, 0), c (1, 0, − 2), d (0, 0, 3) a los vectores de la base B. Tenemos que encontrar tres r r r r números, x, y, z, tales que: a = x b + y c + z d (4, 3, 7) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, -2) + z(0, 0, 3) (4, 3, 7) = (2x + y, x, -2y + 3z) 2x + y = 4  x=3  x=3 y = 4 − 2 x = −2  − 2y + 3z = 7 3z = 7 + 2y → z = 7 + 2y = 1  3 r r r r r Las coordenadas de a respecto de la base B son (3, − 2, 1), es decir: a = 3b − 2c + d EJERCICIO 3 :

r r Dados los vectores u (2, − 1, 0) y v (3, 2, − 1):
b) ¿Forman una base de R3?

a) ¿Son linealmente independientes? r r r 1r c) Halla un vector, w , tal que 2u + 3 w = v. 2

Solución: a) Sí son linealmente independientes, puesto que siescribimos: x(2,-1, 0) + y(3, 2, -1) = (0, 0, 0), es decir: 2x + 3 y = 0  − x + 2y = 0 Este sistema solo tiene la solución trivial: x = y = 0 − y = 0  b) No forman una base de R3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres vectores (linealmente independientes). r r 1r r 1r r r 1r 2r c) 2u + 3w = v → 3 w = v − 2u → w = v − u r 2 2 6 3 ⇒ w = 1 (3, 2, − 1) − 2 (2, − 1, 0) =  − 5 , 1, − 1   6 3 6   6

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
EJERCICIO 4 :
→ → → → → →

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a) Halla los valores de x, y, z tales que x u + y v + z w = 0, siendo

u (2,0,-3), v (1,-2,0) y w (3,2,-6)

b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3? Solución: a) x(2, 0, -3) + y(1, -2, 0) + z(3, 2, -6) = (0, 0, 0)⇒ (2x + y + 3z, -2y + 2z, -3x - 6z) = (0, 0, 0) 2x + y + 3z = 0  − 2y + 2z = 0 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solucione s : x = −2λ, y = λ, z = λ − 3x − 6z = 0  b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son base. EJERCICIO 5 : Consideram os la base de R 3 formada por los vectores :
→ → →

r r r r b)Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a, b y u.
Solución:

a (2,-1,3), b (0,2,-1), c (3,0,1) r a) Halla las coordenadas de u (4, − 7, 14) respecto de la base anterior.

r r r r a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u = x a + y b + z c , es decir :
(4, -7, 14) = x(2, -1, 3) + y(0, 2,-1) + z(3, 0, 1) ⇒ (4, -7, 14) = (2x + 3z, -x + 2y, 3x - y + z) 2x+ 3z = 4   − x + 2y = −7 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solución : x = 5, y = −1, z = −2 3 x − y + z = 14   r r r r r Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son (5, − 1 − 2), es decir : u = 5a − b − 2c , b) De la igualdad obtenida en a), tenemos que: u

r

r r r = 5a − b − 2c

→

r r r r 2c = 5a − b − u

→

r 5r 1r 1r c = a− b− u 2 2 2

PRODUCTO...