Analisis y clasificación de funciones

UNIDAD: ANALISIS Y CLASIFICACION DE FUNCIONES.
Recordemos que una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos A y B de modo
que a los elementos del primer conjunto A le corresponde uno y solo un elemento del conjunto B.
Gráficamente, para determinar si una curva corresponde al gráfico de una función, debemos trazar
rectas paralelas al eje y y éstas deben cortar a lagráfica en un solo punto.
Ejemplos:

y

y

x

x

Es el gráfico de una función

No es el gráfico de una función

Si f es una función de A en B, denotamos f : A  B, y si x es un elemento del conjunto A, su
imagen en B por medio de la función f la denotamos por y = f (x).
El primer conjunto se llama dominio de la función f. Es decir: Dom f = A.
El segundo conjunto se llama codominio dela función f. Dentro de este conjunto está el conjunto
imagen de la función que son todos aquellos elementos y de B que son imagen de algún elemento x
de A. Es decir: Im f  B.
Para determinar analíticamente el Dominio de una función debemos analizar cuáles
son aquellos valores de x para los cuales es posible calcular el valor de f (x).
Ejemplos: Analicemos Dominios e imágenes de lassiguientes funciones.
1- y = x +3 , es claro que Dom f =|R , Im f = |R
2- y = log x , sabemos que el logaritmo solo se puede calcular para valores positivos, entonces en
este caso tenemos Dom f = |R+ , Im f = |R
3- y  x  2 , como es una raíz de índice par entonces solo podremos calcularla cuando el
radicando es positivo o cero, es decir cuando x – 2  0, esto es x  2, lo que nos da un dominio
Domf = [2, ), además para estos valores del dominio el cálculo de dicha raíz nos da un
número positivo o cero, esto es Im f = |R0+
2
, sabemos que este cociente no está determinado para aquellos valores de x que
x3
anulen el denominador, entonces Dom f = |R – {3}. Por otra parte Im f = |R – {0}, pues
2
y
 0 para cualquier x.
x3

4- y 

5- y = 2x + 1, como toda exponencial se puedecalcular para cualquier valor de x, entonces Dom f
= |R Además Im f = (1, +∞), pues posee asíntota horizontal en y = 1.

Gráficamente al Dominio de una función lo visualizamos sobre el eje x y a la imagen sobre el eje y.
Ejemplos:

y
2

y

y = f (x)

Dom f = |R

Dom g = |R+
x

x
-2

Im f = [-2, 2]

y = g (x)

Im g = |R

Clasificación de Funciones: (en inyectiva,sobreyectiva y biyectiva)
Funciones inyectivas: una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio le corresponden
imágenes distintas del codominio.
Es decir: f es inyectiva si tenemos x1 ≠ x2 entonces debe ser f (x1) ≠ f (x2)

Ejemplos:
1- f (x) = 3x + 5 , es inyectiva ya que si tenemos x1 ≠ x2 , entonces también será
3x1 ≠ 3x2 y por último 3x1 +5 ≠ 3x2 +5, es decir f (x1) ≠ f (x2)
2-f (x) = x 2 + 1, no es inyectiva ya que al ser una potencia par verifica que
12 = (-1)2 y por lo tanto 12 +1 = (-1)2 +1, esto es f (1) = f (-1), es decir tenemos
elementos distintos con imágenes iguales.
Gráficamente comprobamos que una función es inyectiva si trazamos rectas paralelas al eje x y estas
rectas cortan a la gráfica en un solo punto.
Ejemplos:
y

y
y = f (x)
y = g (x)

x1x2

x

x

f no es inyectiva

g es inyectiva

Funciones sobreyectivas: una función es sobreyectiva si su conjunto Imagen es el conjunto de los
números reales.

Ejemplos:
Im f = |R

y

y
Im g = |R+

y = f (x)
x
f es sobreyectiva

y = g (x)
x
g no es sobreyectiva

Funciones biyectivas: una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

ActividadesNº 1: Grafica las siguientes funciones. Observa la gráfica y determina:
(i) Dominio e Imagen
(ii) Clasificación en inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
(b) g ( x)  x 2  2 x  3
(e) n( x)  3 sin x

(a) f ( x)  2 x  4
(d) m( x)  cos x  2

(c) h( x)  2 x  1
(f) k (x) = log 2(x)

Funciones Pares e Impares.

Funciones pares: una función y = f (x) es par si verifica que f (x)...