analisis

Aplicación de las ecuaciones diferenciales en la población

Las ecuaciones diferenciales sirven para representar la forma en que evoluciona el número de habitantes de una determinada poblaciónconforme pasa el tiempo . Es evidente que dicho número varía con el tiempo, pues en todas las poblaciones se cumple el ciclo biológico nacimiento-crecimiento-reproducción-muerte, sin importar laespecie que observemos (pueden ser bacterias, hongos, conejos, animales en peligro de extinción, poblaciones humanas de lugares de todo el mundo.) Lo que más afecta a son los nacimientos y las muertes,aunque otros fenómenos como la migración (que no consideraremos aquí) también lo afectan.
Vale la pena aclarar que es un número entero, pues representa la cantidad de habitantes (que denominamospoblación), pero en los casos que estudiaremos a continuación se considera como una función real de variable real, ya que sólo así podemos hacer un modelo con ecuaciones diferenciales

Modelo de MalthusFue al parecer Euler quien desarrolló los primeros modelos de población, pero comúnmente se atribuye a Malthus el desarrollo y análisis del primer modelo de evolución de según el cual



Esdecir, en cada instante la rapidez de cambio de la población es proporcional al total de la población presente.
Resolvemos la ecuación diferencial (3.1):

Integrando se tiene:



Ésta es lasolución general de la ecuación diferencial (3.1).


Es común conocer la población inicial, . Con esto podemos calcular la constante C:



Para calcular k es necesario conocer la cantidad depoblación existente en un tiempo digamos




Observaciones:

Si se proporcionan para dos tiempos obtenemos los siguientes
resultados:




Para resolver este sistema de dos ecuaciones condos incognitas, C y k, dividimos la segunda ecuación entre la primera y obtenemos:




entonces



De donde


Tenemos también, usando (3.3) que C = como

Con dado por;...