Analisis

Análisis Combinatorio
Se entiende por análisis combinatorio, el estudio de los subconjuntos de p elementos tomados sin repetición de un conjunto de n elementos.
El análisis combinatorio es esencial para el cálculo de probabilidades en experimentos complejos, y su conocimiento es necesario y fundamental para todo estudiante de educación superior.
• El símbolo [pic] (léase nfactorial) siendo n un número entero positivo, indica el producto de los enteros positivos sucesivos de 1 a n.
[pic] , ó
n! = [pic], [pic] , [pic]ℕ,
donde si n = 0 : [pic], por definición
Ejemplos:
5! = [pic] = 120
6! = [pic] = 720
PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES
i.- Si m! = n! Entonces m = n , ( m , n ( ℕ,.
ii.- m! = m (m – 1) (m – 2 )! =.... , ( n (1
iii.- [pic]! [pic] m! [pic] n!
iv.- [pic]! [pic] m! n!
v.- [pic]! [pic] [pic]
Ejemplo. Simplificar:
1. [pic] ; x ∊ ℕ.
Solución
[pic]
2. [pic]. n ∊ ℕ.
Solución
[pic]

• Los arreglos (sin repetición) de orden n formados a partir de los n elementos de un conjunto E; es decir las diversas formas de ordenar los n elementos del conjunto E, se llamanpermutaciones. Notación: [pic]
• Un conjunto E de n elementos distintos, se llama combinación (sin repetición) de estos n elementos tomados de p a la vez (con [pic]) a todo subconjunto que se puede construir seleccionando p elementos entre los n, sin que se considere el orden de colocación de los elementos.
Es muy importante notar la diferencia que existe entre arreglos y combinaciones. En unarreglo, el orden de colocación de los elementos es determinante; en una combinación, el orden de colocación no tiene ninguna importancia.
El número de combinaciones de n elementos tomados de p en p se indica por: [pic].
NÚMEROS COMBINATORIOS
Se denomina así, al número total de los diferentes grupos que se pueden formar con “m” elementos tomando todos a la vez o de k en k , de modo que losgrupos se diferencien por lo menos en un elemento ( aquí el orden no es necesario).
Lectura: Combinaciones de m elementos tomados de k en k. Para el cual usaremos la siguiente fórmula.
[pic],
Nota.- [pic] también se le denomina coeficiente binomial y se lee número combinatorio de m elelentos tomados en grupos de k, en k ( m , k ( ℕ) .
5.4 Teorema 1 Si m es un entero positivo y k es unentero no negativo, y [pic], entonces: [pic] = [pic] , m, [pic]ℕ.
Demostración.
Usando la diferencia de número combinatorio. Si [pic], m , k ( ℕ.
[pic]
[pic]
[pic]
Ejemplo.
1. De un grupo de 15 alumnos y 12 alumnas se quiere elegir dos delegados para el curso de matemática de modo que sean un hombre y una mujer. ¿De cuántas maneras se puede hacer ésta elección?Solución
Se tiene: alumnos: [pic]
alumnas: [pic]
Total: [pic]
Es decir existen 180 formas de elegir a los delegados.

2. De un grupo de 5 matemáticos, 3 físicos y 4 ingenieros se debe elegir un comité de 6 personas, de modo que se incluyan 3 matemáticos, 1 físicos y 2 ingenieros. ¿De cuántas formas se puede hacer ésta elección?
Solución
Se tiene: Matemáticos: [pic]
Físicos: [pic]Ingenieros: [pic]
Total: [pic]
Es decir existen 180 formas de elegir este comité.

5.5 Teorema 2 Suma de combinaciones.
[pic]
Demostración. Usando el teorema 1.
[pic] + [pic]
[pic] + [pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic][pic]
5.6 PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES
i) [pic]
ii) [pic]
iii) [pic]
iv) [pic]
v) [pic] [pic] k = p ( k + p = m
vi)Degradación de índices; consiste en descomponer un número combinatorio en otro equivalente.
a) ambos índices [pic]
b) sólo índice superior [pic]
c) sólo índice inferior [pic]
• Variaciones son las ordenaciones diferentes (es decir, importa el lugar que un elemento ocupe) que se pueden lograr tomando para ello, grupos, de determinado tamaño de un total dado de...