analisis

Universidad Técnica
De Manabí
Proyecto de Análisis
Matemático
Alumno:
Carlos José Junquí Vélez
Facultad de:
Ciencias Físicas Matemáticas y Químicas
Carrera:
Ing. Civil
Tema:
Integración de fracciones racionales
Profesor:
Ing. Luis Cobacango

Integración de fracciones racionales
Integración de fracciones racionales
Recibe el nombre de fracción racional una expresión de laforma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Ejemplos de fracciones racionales son las siguientes:

FRACCION PROPIA
Donde el grado del polinomio en el numerador es menor que el del polinomio en el denominador. Por ejemplo:

Debemos ahora encontrar un método que permita obtener la derivada inversa de expresiones del tipo La idea básica del método consiste descomponer una fracción racional en unasuma de fracciones racionales más simples, llamadas usualmente fracciones parciales. Daremos sin demostración los siguientes teoremas:

 
Teorema 1
 
  Si M(x) y N(x) son polinomios, entonces
en donde L(x) y R(x) son polinomios tales que el grado de R(x) es menor que el de N(x)

 Ejemplo:

 
Teorema 2 
 
Si M(x) y N(x) son polinomios tales que el grado de M(x) es menor que elde N(x),entonces se puede representar como una suma S(x) de expresiones de la forma:

 

Como resultado de este teorema se tienen los cuatro siguientes casos:
 
.
Cada factor lineal que aparece sólo una vez en N(x)
 
posee un término de la forma en la suma S(x).

.
Para cada factor lineal que aparece k veces en N(x)
 
habrá una suma de k términos como sigue:
 
en la suma   S(x)

 
 
.
Para cada factor cuadrático con que
 
aparezca sólo una vez en N(x) existe un término de la forma
 
en la suma S(x).

 
 
.
Para cada factor cuadrático con que
 
 aparezca k veces en N(x) habrá una suma de k términos
 
como sigue:
 
en la
 
suma S(x)
 
 
Teorema 3
 
Si el valor de un polinomio p(x) de grado n es igual al valor de su polinomio q(x) degrado m, donde , para al menos valores de x, entonces los polinomios son idénticos y tienen valores iguales para todos los valores de x.

Este teorema será utilizado para obtener los valores de las constantes en cada uno de los casos anteriores. Daremos ahora ejemplos de cada caso.
Caso
Calcular cada una de las siguientes integrales:
Ejemplo 1
       
Observe que el denominador delintegrando ya está factorizado, y cada factor lineal aparece solo una vez. Luego se puede escribir la siguiente igualdad (aplicando el Teorema 2)
 
 
de donde:

 
igualando los numeradores se tiene:
 
Para determinar los valores de A, B y C se pueden utilizar dos procedimientos.
i. Si dos polinomios T(x) y Z(x) son tales que para ,   entonces    los coeficientes de potencias iguales dex en los dos polinomios deben ser iguales.
Como:

entonces

  y por tanto:
   
  
  
  Resolviendo el sistema anterior se obtiene que y
   Luego:
  
ii. Como los miembros de la ecuación  son polinomios de grado dos o menos y deben ser iguales para más de dos valores de x, del Teorema 3 concluimos que son iguales para todos los valores de x. Luego es posible escoger tresvalores arbitrarios de x para sustituirlos en la ecuación anterior y así obtener tres ecuaciones en las incógnitas A, B y C. Generalmente se utilizan valores de x que conduzcan a las ecuaciones más simples.
Así, si se obtiene que:

 
  de donde
Si se obtiene que:
 

  de donde
Por último, si se obtiene que:

 
de donde
Como vemos, el resultado es el mismo que el obtenido en elprocedimiento señalado en i.
Luego:

 

 
Ejemplo 2:

 
En este caso se debe factorizar primero el denominador del integrando. Así
Luego:

 
Se deben calcular nuevamente los valores de A, B y C, utilizando para ello cualquiera de los dos procedimientos ya señalados.
Como:

 
entonces:

 
Utilizando el segundo procedimiento daremos a x los valores de 0, y como sigue:
Si...