Analisis

ECUACIONES DIFERENCIALES

I. Definición:
Una ecuación diferencial es una ecuación que establece una relación entre las variables independientes, una función y sus derivadas.


¨ Si la función buscada depende de una variables ( es del tipo y = f(x)), la ecuación se llama ordinaria. Si la derivada de mayor orden que aparece es de orden "n", se dice que es una ecuación diferencialordinaria de orden n.
En símbolos: F(x;y;y';y";...;y(n) ) = 0


¨ Si la ecuación diferencial se puede llevar a la forma :
a (x)( y( n) )k0
a (x)( y( n 1) )k1
a n 1
(x)( y´)k n 1
a (x)y kn
Q( x) , es decir se
puede escribir como un polinomio respecto de la función y sus derivadas, llamamos grado de la ecuación diferencial, al mayor exponente que afecta a la derivadaque da el orden a la ecuación.
Ejemplo: (y"
)5 - (y" )4 .x =
e x (ecuación diferencial ordinaria de 3er orden,5to grado)
En cambio, 2 y"

y' "
0 no tiene grado.
Si en una ecuación diferencial ordinaria de orden n y primer grado, la función buscada y todas las derivadas que intervienen están elevadas a exponente 1, se dice que la ecuación es lineal

II. Soluciones de unaecuación diferencial:


¨ Toda función y = f(x) que reemplazada en la ecuación diferencial, la transforma en una identidad, es solución de la ecuación diferencial. A veces, una función no está dada en forma explícita, sino mediante una expresión del tipo F(x,y)= K. En ese caso, si verifica la ecuación diferencial, también es solución


Ejemplo: y' = y (1);
f(x)=ex la verifica, por lotanto f(x)=ex es solución de (1), pero también la verifica f(x) = 2ex. En general: f(x)= C.ex satisface la ecuación (1).
La familia de curvas y = C.ex es la solución general de (1). (Abreviaremos S.G.)


Se llama S.G de una ecuación diferencial ordinaria de orden n a la familia de funciones F(x,y,C1,...Cn)=0, que depende de n constantes arbitrarias C1,C2,.., Cn irreducibles (parámetros) ysatisface las siguientes condiciones:
a) Para todo Ci, se satisface la ecuación diferencial;


b) Si se dan n condiciones iniciales, se pueden hallar los valores de las n constantes de tal

forma que la expresión resultante verifica la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

¨ Solución particular es aquella que se deduce de la general determinando el valor de él o los parámetros;sujetas a ciertas condiciones iniciales, previamente establecidas.


¨ A veces existen soluciones que verifican la ecuación diferencial, pero no pertenecen a la
SG, de la misma, se llaman soluciones singulares (SS)


Ejemplo: Investigar si las siguientes funciones son o no soluciones de y = x y´ - y ' 2. (1) Si la respuesta es afirmativa , indicar si es general, particular osingular.
a) y = 2x-3, b) y = mx+b, c) y = 2x-4, d) y=x2 , e) y= 1 x 2
4
Solución:
a) Calculamos y´, y reemplazamos en (1): y´= 2 xy´-y´2 = x.2-22 =2x-4 y y = 2x-3
no es solución.

b) y´= m xy´-y´2 = x.m-m2= y sólo si b= - m2
solución y depende de un parámetro.

y mc
2
m es S.G de (1) ya que es
c) y´= 2 xy´-y´2 = x.2-22 =2x-4=y 2x-4 es solución. Como puede obtenerse dándole a c valor 2, resulta que es S.P.
d) y´= 2x xy´-y´2 = 2x2- 4 x2 = -2x2 y y = x2 no es solución de (1)
e) y´= 1 x
2

xy´-y´2 =
1 x 2
2
1 x 2
4
1 x2 y
4
y= 1 x 2
4

es solución, pero como no
puede obtenerse dándole un valor a la constante que aparece en la S.G., se puede asegurar que no es una solución particular; setrata de una S.S.



III. Obtención de la ecuación diferencial de una familia de curvas:


Dada la ecuación finita de una flia. de curvas dependiente de uno o más parámetros, interesa encontrar su ecuación diferencial. Para ello se deriva tantas veces como parámetros aparezcan y se opera hasta eliminarlos de la expresión.


Por ejemplo:
a)Hallar la ecuación diferencial de la flia. de...