analisis

Derivabilidad

Definición. Recta tangente.

Derivabilidad
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7.1 Definición. Recta tangente. 107 7.2 Reglas de derivación 109 7.3 Teo7.4 Consecuencias del teorema del valor merema del valor medio 111
dio 113 7.5 Derivadas de orden superior 115 7.6 Concavidad y convexidad 116 7.7 Algunas aplicaciones de la derivada 117 7.8 Derivación
numérica 120 7.9 Ejercicios 121 7.10 Ejercicioscomplementarios 125
7.11 Otros ejercicios 129

7.1 Definición. Recta tangente.
Definición 7.1. Una función f : A ⊂ R → R es derivable en a ∈ A ∩ A si existe
lim

x→a

f (x) − f (a)
x−a

A dicho límite lo notaremos f (a). A la función a → f (a) la llamaremos función
derivada de f y la notaremos f .
Observación 7.2.
a) El cociente incremental f (x)− f (a) y la derivada se pueden ver también comoun límite
x−a
en cero haciendo un cambio de variable:
f (a + h) − f (a)
.
f (a) = lim
h→0
h
b) La restricción de que a sea un punto de acumulación del dominio de la función (a ∈ A∩
A ) es obligatoria si queremos que el cociente incremental tenga sentido y no estemos
dividiendo por cero. Recuerda que en el caso de que el conjunto A sea un intervalo se
cumple que A = A con lo que podemosestudiar la derivabilidad en cualquier punto
del intervalo.
Ejemplo 7.3. La función f (x) = x2 es derivable. Su derivada en un punto a es, según la
definición,
f (a) = lim

x→a

x2 − a2
(x + a)(x − a)
f (x) − f (a)
= lim
= lim
= 2a.
x→a x − a
x→a
x−a
x−a

Obtenemos así la fórmula usual de la derivada de f (x) = x2 , esto es, que f (x) = 2x.
La condición de ser derivable es másfuerte que la de ser continua.

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Definición. Recta tangente.

Derivabilidad

Proposición 7.4 (Condición necesaria de derivabilidad). Sea f : A → R derivable en
a ∈ A, entonces f es continua en a.
El recíproco no es cierto. Hay funciones continuas que no son derivables.
Ejemplo 7.5. La función valor absoluto, f (x) = | x |, es continua pero no es derivable en el origen: nocoinciden los límites
laterales en 0.
f (x) − f (0)
x
|x|
= lim+
= lim+ = 1, y
lim+
x→0 x
x→0 x
x→0
x−0
0
f (x) − f (0)
−x
|x|
lim−
= lim−
= lim−
= −1.
Figura 7.1 La funx→0
x→0 x
x→0 x
x−0
ción valor absoluto no
es derivable en el ori- Por tanto, la función valor absoluto no es derivable en el origen.
En el resto de puntos de la recta real, la función es o bien la idengentidad o bien la identidad cambiada de signo. En ambos casos, la
función es derivable. ¿Por qué? Fíjate que la definición de derivabilidad está hecha usando
límites y que, en particular, cuestiones como su carácter local siguen siendo válidas.

7.1.1 Interpretación geométrica de la derivada
La recta que une los puntos (a, f (a)) y (x, f (x)) es una recta secante a la gráfica de la
función f .Puedes ver en la Figura 7.2 que el cociente incremental es
f (x) − f (a)
= tan(θ).
x−a
Cuando hacemos tender x a a, dicha recta se convierte en tangente a la función f en el
punto (a, f (a)). Si el valor tan(θ) nos indica la pendiente de la recta secante, la derivada,
f (a), nos indica la pendiente de la recta tangente que tiene como fórmula
y = f (a) + f (a)(x − a).
y = f (a) + f (a)(x − a)f (x)

{

f (x) − f (a)

x−a

f (a)

}

θ

x

a

Figura 7.2 Recta tangente

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f (x)

Derivabilidad

Reglas de derivación

7.1.2 Derivadas laterales
Puesto que la derivada está definida como un límite y sabemos la relación entre límites laterales y límite, podemos hablar de derivadas laterales. Aunque tiene sentido para
un conjunto cualquiera, vamos aenunciarlo únicamente para funciones definidas en un
intervalo I.
Definición 7.6. Sea f : I → R , a ∈ I, de forma que {x ∈ I : x < a} = ∅. Se dice que
f es derivable por la izquierda en el punto a si existe
lim−

x→a

f (x) − f (a)
= f (a− )
x−a

Este límite se llama derivada lateral izquierda de f en el punto a.
Si ahora el punto a es tal que {x ∈ I : x > a} = ∅, se dice que f es derivable...