Analisis

Análisis dimensional
El análisis dimensional es una potente herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema Π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de unproblema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:
• analizar con mayor facilidad elsistema objeto de estudio
• reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.
El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre loque ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real.
Finalmente, el análisisdimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.
Procedimiento para el análisis dimensional
Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen lossiguientes pasos generales:
1. Contar el número de variables dimensionales n.
2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) m
3. Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o números adimensionales (Π)es n - m.
4. Hacer que cada número Π dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una de las n - m variables restantes(se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemática; ello para asegurar que los números adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).
5. Cada Π se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de losexponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.
6. El número Π que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.
7. En caso de trabajar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus números adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.
Aplicaciones del Análisis dimensional
• Detección de errores decálculo.
• Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.
• Creación y estudio de modelos reducidos.
• Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.
Un ejemplo de Análisis dimensional
Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en caída libre. Sabemos que dicha velocidad v dependerá de laaltura h y de la gravedad g. Pero imaginemos que también se nos ocurre decir que la velocidad depende de la masa m. Una de las bondades del Análisis Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el procedimiento, por sí sólo, elimina las unidades que no son necesarias.
• Identificar las magnitudes de las variables:
.
• Formar la matriz

• Hacer el producto de matrices:
Aquí tenemos que...