Analisis

An´lisis Matem´tico III a a Curso de Pregrado Lenin Qui˜ones Huatangari n
– 28 de marzo de 2010 –

UNPRG Lambayeque-Per´ u

c ⃝2010 by Schroedder

Contenido

Introducci´n o 1. Series Num´ricas e 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Conceptos y Definiciones B´sicas . . . . . . . . . . a 1.2.1. Definici´n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . o 1.2.2.Linealidad de la Suma de una Serie . . . . . 1.2.3. Series Arm´nica,geom´trica y telesc´pica . . o e o 1.2.4. Criterio general de Convergencia de Cauchy 1.3. Series de T´rminos Positivos . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Criterios Generales de Comparaci´n . . . . . o 1.3.3. Criterios Autom´ticos Convergentes . . . . . a 1.3.4. Criterio De LaIntegral . . . . . . . . . . . . 1.4. Series de t´rminos positivos y negativos . . . . . . . e 1.4.1. series alternantes y criterio de Leibniz . . . . 1.4.2. convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Criterio de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . 2. Series de Potencias 2.1. Series de potencia y radio de convergencia 2.1.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.2. Radio de convergencia. . . . . . . 2.2. Derivada e integral de series de potencias . 2.3. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Definici´n de serie de Taylor . . . . o i

1 2 2 3 3 6 7 11 16 16 17 24 28 33 33 35 36 39 39 39 39 39 39 39

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ii

Contenido 2.3.2. Serie de taylor para funciones usuales . . . . . . . . . . 39 2.3.3. Valores aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3. Sucesiones y Series de funciones 3.1.Convergencia Puntual . . . . . 3.2. Convergencia Uniforme . . . . . 3.2.1. Definici´n y Ejemplos . o 3.2.2. Caracterizaciones . . . . 3.3. Criterios de Weiertras y Cauchy 3.3.1. Criterio de Weiertras . . 3.3.2. Criterio de Cauchy . . . Bibliograf´ ıa

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Introducci´n o

De momento no introducimos nada...

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Cap´ ıtulo 1 Series Num´ricas e

1.1.

Introducci´n o

En este cap´ ıtulo entenderemos la operaci´n de adici´n (hasta ahora definida o o para un n´mero finito den´meros reales) de modo al atribuir significado a u u una igualdad del tipo 1 1 1 1 1 + + + + ... + n + ... = 1 2 4 8 16 2 En el cu´l el primer miembro es una “suma” con una infinidad de n´meros.Es a u claro que no tiene sentido sumar una sucesi´n infinita de n´meros reales. o u El primer miembro de la igualdad anterior se expresa como el siguiente limite. (
n→∞

l´ ım

1 1 1 1 + + + ... + n 2 4 8 2)

Definiremos por tanto, sumas infinitas a trav´s de limites. As´ siendo es de e ı esperar que algunas sumas puedan ser afectadas(esto es, converjan )y otras no,ya que no toda sucesi´n posee limite. o En vez de “suma infinita” usaremos la palabra serie. El problema principal de la teor´ de series es determinar cuales son convergentes y cuales no. ıa 2

Cap. 1: Series Num´ricas e

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1.2.1.2.1.

Conceptos y Definiciones B´sicas a
Definici´n y ejemplos o

Consideremos una sucesi´n num´rica infinita a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . y con los o e elementos de esta sucesi´n compongamos formalmente una expresi´n de la o o forma a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . . . + an + . . . =
∞ ∑ n=1

an . . . . . . . . (α)

´ La expresi´n (α) suele llamarse SERIE NUMERICA o simplemente SEo...