Analisis

>1 NUMEROS COMPLEJOS
1.1Definición y origen de los números complejos.
Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma
a+bi
donde a es la partereal y bi es la parte imaginaria. Tanto a como b son reales, e i=-1 .
Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipox2+ 1=0 .Despejando a x se obtiene x=-1 ,que se escribe x=i .
El origen de los númeroscomplejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raízficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaronraíces falsas o raíces sordas.En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias pararesolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma
x2+c=0
, donde c es cualquier númeropositivo.El brillante matemático LeonhardEuler designó por i a -1 . El símboloi
expresa en formaprecisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multipliquepor sí mismo y de -1?Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el granmatemático Gauss, quien colocó en el eje
x la parte a, y en el eje y la parte bi , es decir, el eje x
o eje real (Re) representa la parte real de unnúmero complejo y el eje y
o eje imaginario (Im)la parte imaginaria bi del número complejo. Otra forma de representar un número complejo esel par real a,b . Im b.a, b 0, 0 a
Re
Gráfica 1: Representación del número complejo
(a+bi)
.
De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los númeroscomplejos, ya que en el plano
R2
el número complejo
a,0
coincide con el númeroreal
a
, donde
a∈R.
En el caso de los números complejos de la forma
0,b
son llamados imaginarios puros.
1.2
Operaciones fundamentales con números complejos.

2
Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar,multiplicar, dividir (excepto la división por

0+0i).
Antes de ver la suma de números complejosescribiremos en función de
i
diferentesexpresiones:
1. -9=9-1=9-1=3i , recordar que -1=i2. -4-4=-8=8(-1)=4(2)(-1)=42-1=22i
Es 2i NO 2i3. -104+23=-81=81(-1)=81-1=9i4. 5-16=516-1=516-1=5∙4∙i=20i
5. -36+9-49 =36-1+949-1=36-1+949-1=6∙i+9∙7∙i-36+9-49 =6i+63i=69i6. -3-32=-316(2)-1=-3162-1=-3∙4∙2i=-122i
Es 2i NO 2i7. 4-50=450-1=425(2)-1=4252-1=4∙52i=202i
Es 2i NO 2i
8. 6-18=618-1=69(2)-1=692-1=6∙32i=182i
Es 2i NO 2i9.-9-128=-9128-1=-964(2)-1=-9642-1=-9∙82i=-722iCon los resultados de los ejercicios 7, 8 y 9 resuelva el ejercicio 10.10. 4-50+6-18-9-128=202i+182i-722i=20+18-722i=-342i
COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
11. -125=55i
12. -310-200=-32i13. -12=22i
14. 8-49100-9-1625=-165i15. -8+3-82=2i-1
Suma de un número complejo
Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con laparte realdel segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parteimaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:
a+bi+ c+di=a+c+ bi+dia+bi+ c+di=a+c+ b+di
Por ejemplo:
316. 3+7i+ 2+4i=3+2+ 7i+4i=5+7+4i=5+ 11i
La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los trespasos, con un poco de práctica podemos realizar solo los dos últimospasos, cuando tengamosvarios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso.Veamos otros ejemplos con dos pasos:
17. 8-11i+13+2i=8+13+ -11+2i=21-9i18. -6+9i+5-3i=-6+5+ 9-3i=-1+6i19. -4-6i+-7+8i=-4-7+ -6+8i=-11+2i20. -10-4i+-1-9i=-10-1+ -4-9i=-11-13i21. 23+67i+-13-47i=23-13+ 67-47i=13+ 27i22. 67+58i+23-49i=67+23+ 58-49i
Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora,en este ejercicio lo haremos paso apaso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.
67+23=18+1421=3221 58-49i=45-3272i=1372i22. 67+58i+23-49i=3221+1372i
Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimalesel resultado NO es exacto. Veamos el caso de:
3221=1.523809523809523809….
En el caso anterior se puede reportar el resultado como:...