Analisis


1. OBJETIVOS
1.1. OBJETIVO GENERAL
Encontrar la función de transferencia de la planta del Levitador mediante espacio de estado y controlarla mediante la implementación de un controlador de acuerdo a los requerimientos establecidos.

1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Analizar la estabilidad del sistema mediante diagramas de bode y Lugar geométrico de raíces.
Encontrar un valor para la gananciaque permita estabilizar la planta.
Comparar los resultados obtenidos en forma gráfica en forma analítica y justificarla con Matlab
Conocer el funcionamiento adecuado .

2. DESCRIPCION DEL SISTEMA

3. DESARROLLO

ACTUADOR
Electroimán, encargado de generar la fuerza electromagnética que permite la levitación del objeto.
PRE-ACTUADOR
Circuito de potencia, elevador de corriente para eltrabajo del electro magneto.
SENSOR
Sensor de Posición, mide la variación de posición de la esfera.
CONTROLADOR
Se usara un controlador PID por las necesidades del problema.
SENAL DE CONTROL
Circuito PWM.
VARIABLES DEL SISTEMA
VARIABLE
DESCRIPCION
UNIDADES
Valores
Ki
Parametro de caracteristica estatica
[A]
2.44643
X1
representa la posición de la esfera suspendida
[N]
10mm
X2representa la velocidad de la esfera suspendida
[m/s]

X3
representa la corriente del electroimán mínima
[A]
-0.03460
U
Señal de control mínima

0.04697
G
Parámetro de gravedad
[m/]
9.78
M
Masa
[kg]
0.0448
Fem
Fuerza electromagnética
[N]
Función x1 y x3
FemP1
Parámetro de Fem
[H]
0.120133
FemP2
Parámetro de Fem
[m]
0.006705
F1p1
Parámetro de Fi(x1)
[m*s]
0.00121F1p2
Parámetro de Fi(x1)
[m]
0.02835
Ci
Parámetro de característica estática
[A]
-0.09276

Ecuaciones del sistema eléctrico equivalente:





Partiendo del modelo eléctrico del levitador obtenemos

****Despejamos





OBTENCION DE ECUACIONES DE ESTADO
Las variables de estado son:
𝑥1  representa la posición de la esfera suspendida. Unidad [m].
𝑥2  representa lavelocidad de la esfera suspendida. Unidad [m/s].
𝑥3  representa la corriente del electroimán. [A].
Variable manipulada Altura de la esfera metálica.
Variable controlada Corriente que llega al electroimán.
Ecuaciones matemáticas de la planta






Aplicando el modelo matemático no lineal el Modelo de Nieliniowy




= exp (-)
Por lo cual relacionamos nuestras variables de estado:Las variables de estado que se eligieron fueron porque son almacenadores de energía.
Posición, es una variable de estado ya que indica la cantidad de movimiento que tiene la esfera frente a un estímulo externo.


Velocidad, es una variable de estado ya que está relacionada con la energía cinética y su posición



Podemos observar que es la representación de velocidad y es continua en eltiempo, por lo tanto se demuestra que es una variable de estado.
Corriente, Es una variable de estado por su magnitud física ya que en el sistema representa el electroimán (inductancia).

MODELAMIENTO DEL SISTEMA
Ecuaciones matemáticas de la planta




= exp (-)
Ecuaciones de estado

Utilizando los parámetros de la planta se tiene:






Velocidad inicial= 0[m/s] partiendodel reposo







El sistema debe permanecer estable


2.44643*u=0.42236
Despejamos U

u=0.17264
Linealización y obtención del modelo matemático en espacio de estado.

Al linealizar se toma en cuenta el punto de equilibrio que es 10 mm.
Sistema eléctrico




Sistema mecánico

=mg-



Linealización sobre el punto de equilibrio

Obtención de la función de transferenciade la planta, a partir de las matrices de estados

Matriz de estados

y=Cx


Cálculo de los elementos de la matriz A
Los elementos de la matriz A son expresados como parámetros de modelos no lineales.






//


MATRICES DE ESTADO


Cálculos de los elementos de la matriz B




//




Debido a que la variable a ser controlada es la posición se obtiene la siguiente...