analisis

SIS MATEM´ATICO

Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜na que resultara menor que cualquier otra dada, cier- tamente no podr´ ıa ser sino cero. A quienes pregun- tan qu´ e es una cantidad infinitamente peque˜na en matem´aticas, nosotros respondemos que es, de he- cho, cero. As´ ı pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supues- tos misterios hanconvertido el c´alculo de lo infinita- mente peque˜no en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las p´aginas siguientes, donde explicare- mos este c´alculo. Leonhard Euler

´ Indice General
Introducci´on ix
Cap´ıtulo I: Topolog´ ıa 1 1.1 Espacios topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Bases y subbases . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Productos y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Algunos conceptos topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 Convergencia de sucesiones . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8 Sucesiones y series num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Cap´ıtulo II: Compacidad, conexi´on y completitud 59 2.1 Espacios compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.5 Aplicaciones a las series num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.7 Ap´endice: El teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Cap´ıtulo III: C´alculo diferencial de una variable 101 3.1 Derivaci´on . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2 C´alculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.4 La diferencial de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6 Series de potencias . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7 La funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.8 Las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.10 Ap´endice: La trascendencia de e y π . . . . . . . . . . . . . . . . 148
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vi ´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo IV:C´alculo diferencial de varias variables 157 4.1 Diferenciaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164 4.3 Curvas parametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Cap´ıtulo V: Introducci´on a las variedades diferenciables 195 5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 196 5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.3 La m´etrica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.4 Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.5 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.6 La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 223
Cap´ıtulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 231 6.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 238 6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 246
Cap´ıtulo VII: Teor´ ıa de la medida 253 7.1 Medidas positivas . . . . . . . . . . . . . ....