Analisis

Carlos Ivorra Castillo

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ANALISIS
MATEMATICO

Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜
na
que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ıa ser sino cero. A quienes preguntan qu´e es una cantidad infinitamente peque˜
na en
matem´
aticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. As´ı pues, no hay tantos misterios ocultos
en este concepto como se suele creer. Esossupuestos misterios han convertido el c´
alculo de lo infinitamente peque˜
no en algo sospechoso para mucha gente.
Las dudas que puedan quedar las resolveremos por
completo en las p´
aginas siguientes, donde explicaremos este c´
alculo.
Leonhard Euler

´Indice General
Introducci´
on

ix

Cap´ıtulo I: Topolog´ıa
1.1 Espacios topol´
ogicos . . . . . .
1.2 Bases y subbases . . . . . . . .
1.3Productos y subespacios . . . .
1.4 Algunos conceptos topol´
ogicos .
1.5 Continuidad . . . . . . . . . . .
1.6 L´ımites de funciones . . . . . .
1.7 Convergencia de sucesiones . .
1.8 Sucesiones y series num´ericas .

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Cap´ıtulo II: Compacidad, conexi´
on y completitud
2.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Espacios deHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Aplicaciones a las series num´ericas . . . . . . . .
2.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Ap´endice: El teorema de Baire . . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo III: C´
alculodiferencial de una variable
3.1 Derivaci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 C´
alculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . .
3.4 La diferencial de una funci´
on . . . . . . . . . .
3.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 La funci´
on exponencial . . . . . . .. . . . . . .
3.8 Las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . .
3.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Ap´endice: La trascendencia de e y π . . . . . .

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´INDICE GENERAL

vi

Cap´ıtulo IV: C´
alculo diferencial de varias variables
157
4.1 Diferenciaci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 Curvas parametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Cap´ıtulo V: Introducci´
on a lasvariedades diferenciables
5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . .
5.3 La m´etrica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

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Cap´ıtulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias
231
6.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 238
6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 246...