Analisis

Problemas M´todo de bisecci´n. e o
1. La ecuaci´n ex − 3x = 0 tiene por ra´ a r = 0,61906129. Comenzando con el intero ız valo [0, 1], realizar seis iteraciones por el M´todo de bisecci´n para encontrar la ra´ e o ız aproximada. ¿Cu´ntos decimales significativos tiene dicha aproximaci´n?. ¿Cu´ntas ita o a eraciones son necesarias para que la ra´ obtenida tenga un error menor que 10−4 ? ızUtilizar el M´todo de bisecci´n para encontrar una soluci´n aproximada con un error e o o menor que 10−2 en el intervalo [4, 4,5] para la ecuaci´n x = tg(x). o Sabiendo que existe una ra´ de la ecuaci´n x3 + x = 6 entre 1.55 y 1.75, ¿cu´ntas ız o a iteraciones son necesarias hasta obtener mediante el m´todo de bisecci´n, un intervalo de e o amplitud menor o igual que 10−3 que contenga a la ra´ Calculartodas las iteraciones ız?. necesarias. Aplicar el M´todo de bisecci´n a F (x) = x3 − 17 = 0, a fin de determinar la ra´ c´bica e o ız u de 17 con un error menor que 0.125.

2. 3.

4.

M´todo de Newton. e
5. Aplicando el M´todo de Newton, encontrar una ra´ pr´xima a x0 = 0 para la ecuaci´n e ız o o f (x) = 3x + senx − ex = 0. Redondear los c´lculos a cinco cifras significativas e iterarhasta que se cumpla | xi − a xi−1 |≤ 0,001. ız e La funci´n f (x) = 4x−7 tiene una ra´ en x=1.75. Utilizar el m´todo de Newton con las o x−2 siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cada caso, previamente, si se produce un proceso convergente o no a la ra´ ız. a)x0 = 1,6 , b)x0 = 1,5 , c)x0 = 3 Mediante el M´todo de Newton modificado, encontrar una ra´ pr´xima a x0 = 0 de la e ız o −x = 0.ecuaci´n x − 2 o Utilizar tres decimales redondeados en cada iteraci´n hasta que se cumpla | xi − xi−1 |≤ o −3 . 10 La concentraci´n c de una bacteria contaminante en un lago decrece seg´n la expresi´n: o u o c(t) = 80e−2t + 20e−0,5t siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el n´mero u de bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el M´todo de Newton). e 9. Unadeterminada sustancia se desintegra seg´n la ecuaci´n A = P · e−0,0248t , donde P u o es la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resultante despu´s de t an˜s. Si e o inicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia, ¿cu´nto tiempo habr´ de a a transcurrir para que quede el 1 por ciento de ´sta? Utilizar el M´todo de Newton. e e 1 Fundamentos Matem´ticos a Curso 2004/05

6.7.

8.

Ingenier´ T´cnica ıa e Forestal

10.

Demostrar que para encontrar la ra´ r-´sima de un n´mero a, la f´rmula iterativa de ız e u o Newton se puede expresar como 1 a xn+1 = [(r − 1) · xn + r−1 ] r xn

11.

Hallar la ra´ cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el m´todo de Newton ız e y comenzando con el valor inicial x0 = 3. Utilizar dos decimales redondeados en losc´lculos. a Se considera la funci´n F (x) = x5 +2x. Mediante el M´todo de Newton, hallar el menor o e n´mero positivo x (con tres decimales) para el cual F (x) = 4. u En los casos siguientes, aplicar el m´todo de Newton con la estimaci´n inicial propuesta, e o y explicar por qu´ falla el m´todo. e e a) y = 2x3 − 6x2 + 6x − 1, x1 = 1.
3 x1 = 2 .

12. 13.

c) y = −x3 + 3x2 − x + 1, √ x1 = 2. d ) y= 3 x − 1, 14.

b) y = 4x3 − 12x2 + 12x − 3,

x1 = 1.

Probar, mediante el m´todo de Newton, que la ecuaci´n e o xn+1 = xn (2 − axn )
1 o ıproco de a. se puede utilizar para aproximar a si x1 es una estimaci´n inicial del rec´ N´tese que este m´todo de aproximar rec´ o e ıprocos utiliza s´lo operaciones de suma y o 1 multiplicaci´n. [Ayuda: Considerar f (x) = x − a.] o

15.Aproximar, con ayuda del resultado del ejercicio anterior, con tres cifras decimales, los siguientes rec´ ıprocos: a) b) 1 . 3 1 . 11

16.

Una medicina administrada a un paciente produce una concentraci´n en la sangre dada o −t/3 mg/ml, t horas despu´s de que se hayan administrado A unidades. por c(t) = Ate e La m´xima concentraci´n sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denomina a o...