AnalisisVectorial

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
Se dice que en una determinada región del espacio se tiene un "campo físico" cuando en ell
ase presentan u observan propiedades físicas. Estas propiedades pueden tener carácter escala
r, vectorial o tensorial.

Se denomina CAMPO en general, a toda magnitud física cuyo valor depende del punto del
plano o del espacio, y del instante que se considere. Si la magnituddefinida así en un punto
del espacio es escalar, el campo es escalar; si fuera vectorial, sería un campo vectorial.

Ing. Mecatrónica Electricidad y Electromagnétismo

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CAMPOS ESCALARES
Si a cada punto (x,y,z) de una región del espacio se le puede asociar un escalar V(x,y,z),
hemos definido un campo escalar V en esta región. La función V depende, pues, del punto 
y por ello se llama funciónescalar de punto.
 

Si el campo escalar no depende del tiempo se llama estacionario.
Recibe el nombre de superficie equiescalar o isoescalar, el lugar geométrico de los puntos
del espacio en los que el campo escalar tiene el mismo valor. Las superficies equiescalares
vienen detrminadas por la expresión:
V( x, y, z ) = ki

(ki es una constante)

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2Estas superficies no pueden tener puntos comunes por la imposibilidad de que la función
escalar en un mismo punto tenga diferentes valores.
Como ejemplos de campos escalares podemos citar el campo de temperaturas de un sólid
o
o el campo de presiones de un gas.
CAMPOS VECTORIALES
Si a cada punto (x,y,z) de una región del espacio se le puede asociar un vector E(x,y,z),queda definido un campo vectorial E en esta región. La función E depende, pues, del pu
nto y por ello se llama función vectorial de punto.

Si el campo vectorial no depende del tiempo se llama estacionario
.

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En los campos vectoriales se definen las líneas de fuerza o líneas de campo, como las
curvas tangentes en cada punto a los vectores definidos en ellos.Decimos que un campo vectorial es uniforme cuando tenemos el mismo valor del vector
campo y la misma dirección y sentido en todos los puntos. Un campo uniforme está repre
sentado, evidentemente, por líneas de campo paralelas y equidistantes.

Como ejemplos de campos vectoriales podemos citar el campo de velocidades en un fluido
,
el campo gravitatorio, el campo eléctrico y el campo magnético.

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DERIVADA DIRECCIONAL. GRADIENTE Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Sea V(x,y,z) una función escalar definida y derivable en cada uno de los puntos (x,y,z) de
una cierta región del espacio (V define un campo escalar derivable). El gradiente de V, repr
esentado por ∇V o grad V, viene dado por un vector que, en coordenadas cartesianas es
 Obsérvese que gradV define un campo vectorial
.

El grad V es un vector que índica como varía V en las proximidades de un punto, el sentido
es de máximo crecimiento de la función.
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Matemáticamente, la diferencial de una función V(x,y,z) viene dada por:
 

dV representa la variación entre dos puntos muy próximos (x,y,z) y (x + dx, y + dy, z + dz).Teniendo en cuenta la definición de gradiente:
 

donde dr es el vector:

dr = dx i + dy j + dz k

es el vector que une los puntos antes señalados.
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Asi pues, nos queda que dV puede expresarse en
términos
como el producto escalar de los vectores grad V y dr:

del

vector

gradiente

 

determinando esta ecuación la variación dV de la función escalar V a lo largo de la dirección dr
."El gradiente tiene la dirección de la máxima variación del campo y va en el
sentido de los valores creciente de V".

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Sabemos que en las superficies equiescalares se verifica que:
 V(x,y,z) = constante
 luego, es evidente que en una superficie equiescalar el campo escalar V no cambia y por 
tanto se verificará:
dV = 0
 La...