Analiss matematico elipses

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael

SISTEMAS DINÁMICOS I Comisiones 3 y 4 2010

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Taller Nº 15 Tema: Elipse Capacidades a desarrollar
Al finalizar el taller esperamos que seas capaz de:  Construir la ecuación de un lugar geométrico género elipse a partir de sus elementos  Identificar el lugar geométrico representado por una ecuación  Aplicar el modelocorrespondiente a una elipse a distintas situaciones de la ingeniería y otras ciencias.

Desarrollo
1) Dadas las siguientes ecuaciones, analizar el lugar geométrico que representan. Si se trata de una elipse, encuentre el centro, los focos y vértices. Grafique cada lugar geométrico. a) 9(x – 3)2 + (y + 1)2 = 1 b) (x + 5)2 + 4 (y – 4)2 = 16 c) x2 + 4 x + 4 y2 – 8y + 4 = O d) 4 x2 + 3 y2 + 8 x – 6 y = 5e) 4 y2 + 8 y + x2 – 6 x + 9= 0 f) y2 – 2 y + 4 x2 +9 = 0 g) 9 x2 + 4 y2 –18 x + 16 y –11 = O h) 4 y2 – 8 y +x2 – 6 x + 13 = 0 2) Dados los siguientes datos correspondientes a un lugar geométricos, encuentre la ecuación del mismo. Expresar la forma ordinaria y general de la misma. Representar gráficamente. a) Centro en (2, –2); vértice en (7, –2); foco en (4, –2) b) Vértices en (4, 3) y (4, 9);foco en (4, 8) c) Focos en (1, 2) y(–3, 2); vértice en (– 4, 2) d) Focos en (5, 1) y(–1, 1); longitud del eje mayor = 16 e) Vértices en (2,5) y (2, –1); c = 2 f) Centro en (1, 2); foco en (4,2); pasa por el punto (1,3) g) Centro en (1, 2); foco en (1, 4); pasa por el punto (2, 2) h) Centro en (1, 0); vértice en (4, 0); pasa por el punto (1, 3) 3) Definimos un lugar geométrico como “ los puntosdel plano que cumplen con la condición de que la suma de sus distancias a los puntos P1(1, –2) y P2(1, 6) es igual a 10.” a) Obtener las ecuaciones del lugar geométrico (ordinaria y general.) b) Obtener los elementos más importantes del lugar geométrico. c) Representar gráficamente. 4) Una elipse tiene una e(excentricidad) = 0,5. Sus focos son los puntos (2, 3) y (2, 1). Hallar la ecuación de laelipse y sus elementos. 5) Una elipse tiene su centro en (1, 3) y uno de sus focos en (2, 3). Su excentricidad es 2/3. Hallar la ecuación de la elipse y sus elementos. 6) Calcular la excentricidad y lado recto de la cónica representada por la siguiente ecuación. 4 x2 + y2 = 1 7) Dada la siguiente ecuación: 4 x2 + 9 y2  16 x 18 y + 25  m = 0

a) Determinar para qué valores de “m” representauna elipse con eje paralelo a los ejes coordenados. b) Determinar el centro de la misma. c) Hallar los focos. 8) Expresar ecuaciones ordinarias de familias de elipses según las siguientes consignas: a) Elipses concéntricas de eje paralelo al eje “y”. b) Elipses con eje focal coincidente con el eje “x”. c) Elipses con centro en el origen de coordenadas y cuyo eje mayor sea el doble del menor. d)Elipses de igual excentricidad.

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9) Una elipse tiene su centro en el punto (0,2), y los extremos de su lado recto son los puntos (3,4) y (3,0). Obtener la ecuación ordinaria de la elipse y representar gráficamente. APLICACIONES 1) La órbita del planeta Mercurio es una elipse con el Sol en un foco. Esta elipse tiene un eje mayor de una longitud de 72 millones de millas y un eje menor de unalongitud de 70,4 millones de millas (para los cálculos trabajar con millones de millas, no en millas). a) ¿Cuál es la distancia mínima y máxima entre Mercurio y el Sol? b) Calcular la excentricidad de la órbita 2) Como dijimos en el análisis teórico de la elipse, una técnica para dibujar elipses en el terreno consiste en clavar dos estacas en determinados lugares. Se usa una cuerda larga, atada aambas estacas. Manteniéndola estirada con otra estaca, se puede trazar una elipse. Ver figura. Un constructor desea trazar una elipse destinada a una pileta de natación. Dispone de un terreno rectangular de 45 m por 20 m. Si se va a trazar la elipse con el método de la cuerda, averiguar donde se deben colocar las estacas y la longitud de la cuerda. 3) El arco de un puente de mampostería es una...