Analiss Matemtaci

oAnálisis Matemático
UT1 - Nú Números R l y C Reales Complejos l j

Contenido
Números Reales
    Evolución de los conjuntos numéricos ,  y  Números irracionales Propiedades de los número reales Valor absoluto. Propiedades elementales

Números Complejos
   Ecuaciones no resolubles en . El conjunto Operaciones elementales en . Forma binómica Forma polar: módulo y argumento.Propiedades

Objetivos
     Recordar los distintos conjuntos numéricos ,  y . Conocer las propiedades básicas de  en cuanto a estructura algebraica y propiedades de orden. Manipular correctamente el valor absoluto y las desigualdades en . Representar un número complejo en forma binómica y polar. polar Operar correctamente con números complejos en cualquiera de sus expresiones.Distribución
1T/S: Números reales 2T/S: Valor absoluto. Desigualdades 3S: Números complejos (forma binómica y polar)

Números Reales
Números naturales:   1 2 3  , n, 1, 2,3, Suma y producto. Ordenación "natural" La ecuación 2  x  1, no es resoluble en  ió 1 l bl Números enteros:
    n ,  ,  3,  2,  1, 0,1, 2, 3,  , n ,        0   , , , , , , , Ordenación "natural"inducida La ecuación 2  x=1, no es resoluble en 

Números racionales: m     , m  , n  , fracción irreducible  n  m p definida  ,   d fi id por   m  q  n  p n q
Representación decimal finita o periódica:
 12 139  2.4 ;  2.316 5 60

Números irracionales:
La ecuación x 2  2 no es resoluble en  La solución, solución 2   ; es irracional
(corresponde a la diagonaldel cuadrado unidad)

Representación decimal infinita no periódica infinita,
( 2 1.41421356 ;  =3.14159265 ; e=2.71828182) La secuencia 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1 41421 1 414213 tiende a 1 1 4 1 41 1 414 1 4142 1.41421, 1.414213 2

Propiedades de los números reales      (racionales e irracionales)  se identifica con la recta real

     0    (negativos, cero ypositivos)

b li  ( , , ) cuerpo abeliano  ( , ) relación de orden total, compatible con + y 
x  y  y  x 

 0  

reflexiva, antisimétrica y transitiva



Si x , y  , entonces x  y  x  y  x  y    Si x, y   , entonces x  y    x  y  

Se define la recta real ampliada,     , 

Valor absoluto en :

i  x, si x  0 Si x  , se define suvalor absoluto como x   x    x, si x  0 Propiedades: Nota: x 2  x x 0

x  a ( 0)   a  x  a   a  x  x  a  x    a, a  x  b (  0)  b  x  x  b  x  , b   b,   x y  x  y x  y  x  y (desigualdad de Minkowski)

Distancia : Di t i en 
Si x, y  , se define la distancia entre ambos como d ( x, y )  x  y
I   x / d ( x ,a )   a  ,a  , intervalo (abierto) de centro a y radio 

Ejercicio: Hallar los x   tales que x  2  1
Teniendo en cuenta la segunda propiedad del valor absoluto, x  2 1  1 x  3  x  3  x 1 Por la misma razón, x  3  x   3,3 La tercera propiedad nos conduce a x  1  x  , 1  1   1, El conjunto solución, S , es  3,3  (, 1  1, )   3, 1  1,3

NúmerosComplejos
La ecuación x 2  1  0 no tiene solución en  Se define i como solución compleja de ella: i 2 =(i )2 =  1 La ecuación general x 2  rx  s  0 con r 2  4s  0 posee soluciones
 r i 4 s  r 2 r x1    2 2 4 s r 2  r i 4 s r 2 r i , x2    2 2 2 4 s r 2 i 2

El conjunto  :    z  a  bi ; a, b      

b li ( d d ) l i  ,+,  cuerpo abeliano (no ordenado) conlas operaciones ( a  bi )  (c  di )  ( a  c )  (b  d )i
( a  bi )  (c  di )  ( ac  bd )  ( ad  bc )i

Nota: Si z  a  bi, z  a  bi se llama conjugado de z y
z zw  w ww

Forma binómica en :

Forma binómica: z  a  bi  (a, b)     (cartesiana) Partes real e imaginaria: a  Re( z ) , b  Im( z ) ; z  Re( z )  Im( z )i Conjugado: z  a  bi  Re( z )  Im( z )i...