Analissis de circuitos en ca

An´ lisis de circuitos de CA con impedancias a complejas*
Federico Davoine** Facultad de Ingenier´a ı Universidad de la Republica ´

Resumen Introduciremos brevemente el uso de las impedancias complejas para el an´ lisis de cira cuitos lineales en r´ gimen sinusoidal (corriente alterna: CA). e

1. Repaso de numeros complejos ´
Tal como fue visto en el curso de C´ lculo, un numero complejose puede escribir como a ´ z = a + bi, donde a ∈ R se denomina parte real de z (a = Re(z)), b ∈ R se denomina parte imaginaria de z (b = Im(z)) e i cumple i2 = −1. Recordemos que representamos un numero complejo ´ en un plano, como un punto o vector que une al origen con el punto. En las abscisas representaremos la parte real del mismo, mientras que en las ordenadas estar´ la a parte imaginaria. Aveces resulta m´ s pr´ ctico utilizar a a coordenadas polares (modulo ρ y argumento o fase θ), ´ que cumplen: z = a + ib ⇒ ρ = |z| =

√

a2 + b2 y θ = Arg(z) = Arctg( b ) a

Usando la relacion de Euler: eiθ = cosθ + isenθ y un poco ´ de trigonometr´a, concluimos que la representacion ı ´ iθ . En en polares de un numero complejo z es: z = |z|e ´ particular, si θ = ωt + φ, podemos decir que elvector ´ z = |z|ei (ωt+φ) est´ realizando un movimiento circular Figura 1: Representacion de un a ´ uniforme, de velocidad angular ω (en rad/s) segun la numero complejo en el plano: en ´ coordenadas cartesianas (a, b) y en normal saliente a la figura y radio |z| constante. polares (ρ, θ ). Otra propiedad que nos va a resultar util es que si z = z1 z2 ´

|z| = |z1 ||z2 | Arg(z) = Arg(z1 ) +Arg(z2 )

nota no sustituye al teorico ni a los apuntes ni tiene car´ cter oficial. Se recomienda fuertemente leer este ´ a tema en el Resnick o en el Feynman. ** Dudas, sugerencias o comentarios a: fdavoine@fing.edu.uy. Agradecemos la colaboracion de Ariel Fern´ ndez, ´ a Michael Reisenberger y Santiago Ib´ nez en la lectura detallada y correccion de estas notas. a˜ ´

* Esta

1

2. Circuitosde CA
Ahora, veremos como analizar un circuito de CA. En ´ primer lugar, un circuito lineal de CA (corriente alterna, AC en ingl´ s), es un sistema el´ ctrico, compuesto e e 1 , como pueden ser resistende componentes lineales cias, inductancias y capacitores, adem´ s de fuentes sia nusoidales. Como fue visto en el teorico, estos sistemas ´ se encuentran trabajando en r´ gimen sinusoidal. Esto equiere decir que, en la ecuacion diferencial utilizada para ´ calcular la corriente en funcion del tiempo (que surge ´ de aplicar Kirchhoff), la solucion homog´ nea se extingue ´ e r´ pidamente (transitorio), por lo que solo interesa la a ´ solucion particular. Esta ultima ser´ sinusoidal, si la ex´ ´ a citacion lo es, puesto que el circuito es lineal. Por tanto, ´ sabemos que, en un circuito de CA,todas las corrientes y voltajes van a ser sinusoides, con la misma frecuencia ω (siendo ω la frecuencia de la excitacion), aunque distinta ´ amplitud y desfasaje. O sea que, si la fuente es:

Figura 2: Diagrama fasorial.

donde Iˆp = I p e−iΦ es el fasor asociado a la intensidad y Vp al voltaje. Aunque solo la parte real ´ i (ωt− φ) tiene significado f´sico, trabajaremos con el fasor complejo,resolveremos circuitos de e ı con el, y al final tomaremos la parte real. ´

v(t) = Vp cosωt = Re(Vp eiωt ) ⇒ I (t) = I p cos(ωt − Φ) = Re( Iˆp eiωt )

3. Impedancias complejas
Supongamos que tenemos el caso que se muestra en la figura 3. Si el elemento en bornes de la fuente de CA es una resistencia, se cumple la ley de Ohm: v = RI ⇒ Vp eiωt = RI p eiωt es decir que la resistencia no desfasaa la corriente de la tension (tienen la misma fase): ´ Vp cosωt = RI p cosωt ⇒ Φ = 0 Definimos la impedancia asociada a la resistencia como: ZR =
v I

=R

Figura 3: Circuito resistivo y su diagrama fasorial.
lineales son aquellos en los cuales la relacion entre la intensidad y la ca´da de potencial sobre ´ ı ellos es una ecuacion diferencial lineal. ´
1 Componentes

2

Si ahora, el...