Analista

CAPITULO 4 – LAS CIENCIAS FORMALES.
4.1 La matemática ; constructos formales y realidad.
a) Noción de demostración.
Si preguntamos a estudiantes universitarios si conocen la demostración del Teorema de Pitagoras, recordemos que decía “ en un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos”, pueden contestar que sí , y para probarlo recurren aluso de reglas , transportadores , y otros elementos de medición .
Cualquier cuerpo geométrico que puedan construir o dibujar con estos elementos no constituye una demostración del Teorema de Pitágoras. Es decir, no habrían proporcionado una demostación en el campo de las ciencias formales, en este caso , de la geometría.

Cohen y Nagel , advierten que una demostración es una prueba lógica, nosupone una prueba empírica ni afirma ni niega nada acerca de la verdad fáctica de las premisas o conclusiones involucradas.

En lógica , aritmética, geometría , la verdad de las proposiciones no se demuestra mediante ningún método experimental. En estos casos , una prueba lógica es un “señalamiento” de las implicancias entre un conjunto de proposiciones llamadas “axiomas” – que no se demuestran-y otras proposiciones llamadas “teoremas” que sí deben demostrarse .

Desde el punto de vista puramente lógico, una demostración puede verse como un argumento cuyas premisas son los axiomas o postulados, y la conclusión , la conjunción de los teoremas deducidos.

Esta cuestión lógica tiene que ver con la validez de la inferencia y afecta al plano sintáctico , a la admisión de ciertas reglasdentro del lenguaje, y no a la verdad o falsedad empírica de sus proposiciones.

A diferencia de las proposiciones de las ciencias fácticas, sólo los “vacíos” teoremas deducidos de los axiomas son verdaderos, pero no dicen nada acerca del mundo.

b) Aplicabilidad de las ciencias formales

Karl Popper afirma que la creencia que cualquiera de los “cálculos de la aritmética “ es aplicable acualquier realidad es insostenible. No podemos decir que hay 3,6 cocodrilos en el zoológico , para contar los cocodrilos debemos usar los números naturales. Y para determinar la latitud del zoológico ó su distancia de Greenwich , tenemos que hacer uso del numero π (3,14159 …).

La proposición tal como “ 2 + 2 = 4” , se la puede aplicar a “manzanas” , en diferentes sentidos.
En el primero de lossentidos, el enunciado “ 2 manzanas más 2 manzanas es igual a 4 manzanas” es considerado irrefutable y lógicamente verdadero pero no dice nada referente a las manzanas.
Su verdad reside en las definiciones “2” , “4” , “+”, “=” (éstas definiciones pueden ser implícitas o explícitas). Podemos decir que la aplicación no es real sino aparente.
En el segundo sentido puede considerarse que “ 2 + 2 =4” significa que si alguien coloca dos manzanas en una canasta y luego otras dos, y no extrae ninguna, habrá en ella cuatro.
Según esta interpretación , el enunciado “ 2 + 2 = 4” se convierte en una teoría física , no lógica , y no es universalmente verdadero, ya que puede valer para manzanas pero no para otras entidades como “animales”, “ gotas de un líquido , etc.

c) La demostraciónaristotélica y el sistema axiomático de Euclides.

La concepción clásica sobre la metodología de las ciencias formales se encuentra ya en Aristóteles , cuando destaca los tres supuestos fundamentales de la ciencia demostrativa :

El supuesto de deductibilidad : admite que la ciencia demostrativa debe partir de ciertos principios, los indefinibles, que servirán para definir cualquier otro término , y porotro lado , deberá partir de los indemostrables ó axiomas para demostrar todas las otras verdades de esa ciencia mediante el empleo de reglas.

El supuesto de evidencia : exige que los axiomas sean de tal naturaleza que se los pueda aceptar como verdaderos sin demostración. La evidencia debe alcanzar también a los términos primitivos, de manera que su claridad permita aceptarlos sin...