Analitica

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1. INTRODUCCION
A los conceptos ya conocidos de segmento de recta; en este curso, es necesario agregar que un segmento de recta tiene su “SENTIDO” o “DIRECCIÓN”. Un segmento de recta es generado por un punto en movimiento desde una posición inicial (origen) hasta una posición final (extremo). El sentido de un segmento se registra con una flecha que señala hacia elpunto final o extremo como en las figuras.





Si el segmento de A a B se considera “positivo”, entonces el de B a A es “negativo”.

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico (valor absoluto) de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos.

a). DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA COORDENADO LINEAL.
Un sistemacoordenado lineal consta de una recta xx con dirección positiva de izquierda a derecha y un punto fijo 0 como en la figura.





En la figura la distancia de 0 a A es la unidad. Estando P2 a la derecha de 0, el segmento 0P2 es de longitud positiva. 0P1 tiene longitud negativa.

La distancia “d” de un segmento como en la figura es:




b). DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN PLANOCARTESIANO.
Un punto en un plano se representa por un par ordenado de números reales llamadas coordenadas (x, y); “x” es la abscisa y “y” es la ordenada.

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
En la figura, la distancia entre los puntos P1 y P2 se determina empleando el teorema de Pitágoras:
;


EJEMPLOS:

1.- Demostrar que los puntos : A(3, 8); B(-11, 3) y C(-8, -2) sonvértices de un triángulo isósceles.









Como AB = AC  BC; el triángulo es isósceles.

2.- Hallar la distancia entre:

a). A(-2,3) y B(5,1)



b). C(6, -1) y D(-4, -3)



3.- Demostrar que A(7,5), B(2,3) y C(6, -7) son vértices de un triángulo rectángulo.






El cuadrado de la hipotenusa (AC) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (AB y BC).

NOTA:Comprueba gráficamente este problema.

EJERCICIOS I

1) Hallar la distancia entre:
a) A ( 4,1 ) y B ( 3,-2 )
b) C ( -1,-5 ) y D ( 2,-3)

2) Determinar un punto que equidiste de: A ( 1,7 ); B ( 8,6 ) y C ( 7,-1 )

3) Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A( -3,-1 ); B( 0,3 ); C( 3,4 ) y D( 4,-1 )

4) Demostrar que :
a) A ( 0,1 ); B ( 3,5 ); C ( 7,2 ) y D (4,-2 ) son vértices de un cuadrado.
b) A ( 1,1 ); B ( 3,5 ); C ( 11,6 ) y D ( 9,2 ) son los vértices de un parale- logramo.

5) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a es el punto A(-1, -5 ); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada ( dos soluciones ).

6) Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (3,1) y B ( -1, 1 ); hallar las coordenadas del tercer vértice ( dos soluciones )

7) Hallar la longitud de las diagonales del paralelogramo que tiene como vértices los puntos: A ( 0,0 ); B ( 3,0 ); C ( 4,2 ) y D ( 1,2 )

8) Demostrar que los puntos A ( 3,3 ); B ( -3,-3 ) y C ( -3, 3 ) son vértices de un triángulo equilátero.

9) Hallar el perímetro del triángulo cuyos vérticesson: A(-2, 5 ), B( 4, 3 ) y C( 7, -2 ).

10) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 10 es el punto A (-3, 6 ); si la abscisa del otro extremo es ( 3 ), hallar su ordenada ( dos soluciones ).

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

PUNTO QUE DIVIDE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

1.- PUNTO DE DIVISIÓN
Es el punto que divide a un segmento enuna determinada relación.

2.- VARIANTES DE PROBLEMAS DE LA DIVISIÓN DE UN SEGMENTO

En la división de un segmento en una razón dada se pueden presentar problemas en los que se ha de encontrar: El punto de división o la relación de división o algún punto de los extremos del segmento. Las fórmulas necesarias para la solución de estos problemas se encuentran a continuación:
Teniendo en...