Anatomía del Problema Inverso

Una de las mayores tareas de la geofísica es hacer declaraciones cuantitativas del acerca del interior de la Tierra. Por esta razón, el problema inverso es una importante tarea en la búsqueda geofísica y en la aplicación industrial. La figura 1 muestra algunos textos que presenta el problema inverso. El modelo de la Tierra es un elemento de un espacio matemático que contiene parámetros depropiedades de la Tierra (o al menos las propiedades relevantes de un experimento dado); este espacio es referido como un modelo de espacio. La física de el problema determina cual dato "d" corresponde a un modelo dado "m". El problema del cálculo del modelo en respuesta (dato sintético) al modelo dado se llama problema siguiente. El dato correspondiente reside en un espacio matemático que es llamadoespacio dato de espacio. En algunas aplicaciones, uno graba el dato, y el punto es encontrar el modelo correspondiente. La tarea es llamada problema inverso, como se muestra en la figura 1.
Desafortunadamente, la figura 1 está mal. Hay una simple razón. En general el modelo que uno busca es una función continua de las variables de espacio con infinitamente varios grados de libertad. Por ejemplo, laestructura de velocidad 3D en la Tierra tiene infinitamente varios grados de libertad. En la otra mano, el dato de espacio es siempre de dimensión finita porque cualquier experimento real puede solo resultar en un finito número de mediciones. Un simple conteo de variables muestra que el mapeo de los datos a un modelo no puede ser único; o equivalente, debe haber más elementos del modelo deespacio que no tiene influencia sobre los datos. La falta de autenticidad es evidente incluso para los problemas de idealización, mediciones libre-ruido. El problema empeora sólo cuando la incertidumbre de las mediciones reales es tomada dentro del reporte. Sin embargo la única pregunta es muy debatida en la literatura matemática sobre problemas inversos, esto es altamente irrelevante por los problemasinversos prácticos porque invariablemente no tienen una única solución (si por solución entendemos modelo de Tierra). Estas diversas soluciones hacen que la figura 1 sea engañosa, porque los puntos de los datos de espacio a un modelo de espacio sugiere que un único modelo corresponde a cada dato.
Un esquema más realista del problema inverso se muestra en el problema 2. Dando un modelo "m", lafísica de los problemas determina la predicción del dato "d"; esto se llama problema siguiente. Para una serie de datos dados, uno determina un modelo estimado "m1". Nos referimos a esto como problema modelo de estimación. (Más tarde, consideraremos la generalización del problema estimando propiedades de modelos, que los mismos modelos.) Note que debe haber algunos modelos razonables estimados parauna serie de datos dada y que el procedimiento estimado no debe ser lineal aun cuando el problema siguiente es lineal. Así, el significado de una serie de números es una función lineal de los números, mientras que la mediana no es una función lineal. Aún la mediana y el promedio debe ser una estimación razonable del "centro" de una serie de números. Parte del arte de resolver problemas inversosviene de la necesidad para definir qué significa que un estimado sea razonable.
Desde el mapeo de los datos de espacio al modelo espacial no son únicos, el modelo estimado puede depender de los detalles algorítmicos que han sido usados para la estimación del problema así como sobre la regularización y la parametrización que han sido usadas. En general, el modelo estimado "m1" difiere del modelo real"m". Por ejemplo, en inversión sísmica el modelo estimado puede ser una versión borrosa del modelo real. En adición, los datos siempre están contaminados con errores; estos errores representan una fuente adicional de discrepancia entre el modelo estimado y el modelo real.
Uno no está terminado cuando el modelo estimado es construido; esto es esencial para de alguna manera cuantificar el error...