Andrea

10

Cálculo
de derivadas

1. La derivada
Y

■ Piensa y calcula

2x – 15
y=—
x–6

Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen:
a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B
b) la pendiente de la recta tangente, t, en el punto A

B

r

t

A
X

Solución:
a) 1

b) 1/3

● Aplica la teoría
1. Calcula la tasa de variación media de las siguientesfunciones en el intervalo que se indica:
a) f(x) = 2 – 3x en [1, 2]
b) f(x) = x2 – 4 en [2, 3]
1
c) f(x) =
en [2, 4]
x+1

Y

c)

X

d) f(x) = √ x + 2 en [–1, 2]
Solución:
a) –3

b) 5

c) –1/15

d) 1/3

4. Aplica la definición de derivada y calcula:
a) la derivada de f(x) = √ x en x = 4
b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 4
Representa la gráficade f(x) y la recta tangente para x = 4

2. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de
las siguientes funciones en los valores que se indican:
a) f(x) = 5 en x = 2
b) f(x) = x en x = 5
c) f(x) = 3x + 2 en x = 4
d) f(x) = 2x2 en x = – 1

Solución:
a) 1/4
b) y – 2 =
c)

Solución:
a) 0

b) 1

c) 3

1
1
(x – 4) ò y = x + 1
4
4
Y

d) –4
X

a) la derivada def(x) = x2 – 4x en x = 1
b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1
Representa la gráfica de f(x) y la recta tangente para x = 1
Solución:
a) – 2
b) y + 3 = – 2(x – 1) ò y = – 2x – 1

290

5. La recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el
punto A(2, 1) pasa por el punto B(6, –1). Calcula el valor de f(2) y f'(2)
Solución:
f(2) = 1
–1 – 1
–2
1
f '(2) ==
=–
6–2
4
2

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

3. Aplica la definición de derivada y calcula:

2. Continuidad y derivabilidad
■ Piensa y calcula
Y

a) Observando la función del margen, f(x) = |x2/2 – 2|, calcula las pendientes de las rectas tangentes r y s
b) ¿Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f(x) en x = 2?

s

r

X

Խ Խx2
f(x) = — – 2
2

Solución:
a) La pendiente de r es 2
La pendiente de s es –2
b) No, hay dos.

● Aplica la teoría
6. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = 7
b) f(x) = x – 2
c) f(x) = x2 – x

d) f(x) =

1
x

8. Dadas las gráficas de las funciones siguientes, analiza si
dichas funciones son derivables en lospuntos que se
indican:
a) f(x) = |x + 2| en x = – 2
b) g(x) =

Solución:
a) f '(x) = 0
b) f '(x) = 1
c) f '(x) = 2x – 1
d) f '(x) = –

1
en x = 1
x–1
Y

1
x2

Y

X
f(x) = |x + 2|

7. Dada la gráfica de la función f(x) = √ x – 1 , analiza si la

X
1
g(x) = —
x–1

función es derivable en x = 1
Y

X

Solución:
a) La función f(x) no es derivable en x = – 2, ya quetiene
un pico en ese valor. Las derivadas laterales son distintas.
f'(–2–) = – 1 y f'(–2+) = 1
Por lo tanto, no es derivable.

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

b) La función g(x) no es derivable en x = 1, ya que es
discontinua en ese valor.
Solución:
La función solo admitiría derivada por la derecha, puesto
que la función no está definida para x < 1. La derivada
por la derecha no existeporque, como se ve gráficamente, la tangente sería una recta vertical de ecuación
x = 1. La pendiente de la recta sería + @. Luego no existe la derivada en x = 1

TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS

291

3. Reglas de derivación. Tablas de derivadas
● Aplica la teoría
– 2x + 1

Solución:
y' = 40 cos 5x

Solución:
y' = 3x2 cos x3

Solución:
y ' = 3x2 – 2

29. y = x2 – cos x

19. y =35x

Solución:
y' = 2x + sen x

Solución:
y ' = 5 · 35x L 3

10. y = (2x – 1)5
Solución:
y ' = 10(2x – 1)4

20. y = arc tg x2

Solución:
6x
y' = 2
x –4

Solución:

11. y = cotg 3x

y' =

Solución:
y' = –3 cosec2 3x

2x
1 + x4

31. y = log (5x + 2)

4

21. y = √ 5x
12. y = √ 7x + 3

Solución:
y ' = 2x sec2 (x2 + 1)

Solución:
8
y' =
√ 1 – 64x2

23. y =...