ANE
Páginas: 537 (134135 palabras)
Publicado: 3 de marzo de 2015
Carlos Ivorra
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ANALISIS
NO
´
ESTANDAR
Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜
na
que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ıa ser sino cero. A quienes preguntan qu´e es una cantidad infinitamente peque˜
na en
matem´
aticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. As´ı pues, no hay tantos misterios ocultos
en este concepto como se suele creer. Esos supuestosmisterios han convertido el c´
alculo de lo infinitamente peque˜
no en algo sospechoso para mucha gente.
Las dudas que puedan quedar las resolveremos por
completo en las p´
aginas siguientes, donde explicaremos este c´
alculo.
Leonhard Euler
´Indice General
Introducci´
on
vii
Cap´ıtulo I: Preliminares conjuntistas
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Los conceptos conjuntistasb´
asicos . . . .
1.3 Elementos de teor´ıa de conjuntos . . . . .
1.3.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Conjuntos finitos . . . . . . . . . .
1.3.4 Estructuras algebraicas y de orden
1.3.5 Elementos de aritm´etica . . . . . .
1.4 La teor´ıa de conjuntos no est´
andar . . . .
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78
85
99
102
109
Cap´ıtulo IV: C´
alculo integral de una variable
4.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 C´
alculo de longitudes, ´areas y vol´
umenes . . . . . . . . . . . . . .
117
117
133
141
Cap´ıtulo II: Los n´
umeros reales
2.1 Los n´
umerosnaturales . . . . . . .
2.2 Cuerpos ordenados . . . . . . . . .
2.3 Convergencia de sucesiones . . . .
2.4 La incompletitud de Q . . . . . . .
2.5 La construcci´
on de R . . . . . . . .
2.6 Consecuencias de la completitud de
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Cap´ıtulo III: Calculodiferencial de una variable
3.1 La gr´
afica de una funci´
on . . . . . . . . . . . .
3.2 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Derivadas sucesivas, la f´
ormula de Taylor . . .
3.5 Exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . .
3.6 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
v
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vi
´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo V:Series infinitas
5.1 Series num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Sucesiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
153
163
174
Cap´ıtulo VI: C´
alculo diferencial de varias
6.1 Espacios m´etricos y espacios normados
6.2 Elementos de topolog´ıa . . . . . . . . .
6.3Funciones continuas . . . . . . . . . .
6.4 Derivadas y diferenciales . . . . . . . .
6.5 El teorema de la funci´
on impl´ıcita . .
6.6 Optimizaci´
on cl´
asica . . . . . . . . . .
variables
. . . . . . .
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212
Cap´ıtulo VII: C´
alculo integral de varias variables
7.1 Resultados b´
asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Dominios de integraci´
on . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 C´
alculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 El teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . .
´
7.6 Areas
de superficies . . . . . ....
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ANALISIS
NO
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ESTANDAR
Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜
na
que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ıa ser sino cero. A quienes preguntan qu´e es una cantidad infinitamente peque˜
na en
matem´
aticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. As´ı pues, no hay tantos misterios ocultos
en este concepto como se suele creer. Esos supuestosmisterios han convertido el c´
alculo de lo infinitamente peque˜
no en algo sospechoso para mucha gente.
Las dudas que puedan quedar las resolveremos por
completo en las p´
aginas siguientes, donde explicaremos este c´
alculo.
Leonhard Euler
´Indice General
Introducci´
on
vii
Cap´ıtulo I: Preliminares conjuntistas
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Los conceptos conjuntistasb´
asicos . . . .
1.3 Elementos de teor´ıa de conjuntos . . . . .
1.3.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Conjuntos finitos . . . . . . . . . .
1.3.4 Estructuras algebraicas y de orden
1.3.5 Elementos de aritm´etica . . . . . .
1.4 La teor´ıa de conjuntos no est´
andar . . . .
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Cap´ıtulo IV: C´
alculo integral de una variable
4.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 C´
alculo de longitudes, ´areas y vol´
umenes . . . . . . . . . . . . . .
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Cap´ıtulo II: Los n´
umeros reales
2.1 Los n´
umerosnaturales . . . . . . .
2.2 Cuerpos ordenados . . . . . . . . .
2.3 Convergencia de sucesiones . . . .
2.4 La incompletitud de Q . . . . . . .
2.5 La construcci´
on de R . . . . . . . .
2.6 Consecuencias de la completitud de
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3.1 La gr´
afica de una funci´
on . . . . . . . . . . . .
3.2 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Derivadas sucesivas, la f´
ormula de Taylor . . .
3.5 Exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . .
3.6 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
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Cap´ıtulo V:Series infinitas
5.1 Series num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Sucesiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Cap´ıtulo VI: C´
alculo diferencial de varias
6.1 Espacios m´etricos y espacios normados
6.2 Elementos de topolog´ıa . . . . . . . . .
6.3Funciones continuas . . . . . . . . . .
6.4 Derivadas y diferenciales . . . . . . . .
6.5 El teorema de la funci´
on impl´ıcita . .
6.6 Optimizaci´
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Cap´ıtulo VII: C´
alculo integral de varias variables
7.1 Resultados b´
asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Dominios de integraci´
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7.3 C´
alculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 El teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . .
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