Anecdotaz

Páginas: 3 (557 palabras) Publicado: 23 de octubre de 2012
Por el teorema del residuo, si
x³ - x² - 5x - 3
tiene raíces reales enteras, ellas deberán ser divisores del término independiente (-3). Sabemos que los divisores de -3 son ±1 y ±3, así que alprobar Ruffini con los 4 candidatos tenemos que uno de los que da residuo 0 es -1:
. . | 1 . . -1 . . -5 . . -3
-1 | . . . .-1 . . .2 . . .3
. .+---------------------------
. . . 1 . . -2 . . -3 . ..0 ---> residuo 0
Así, podemos expresar nuestro polinomio de la siguiente forma:
x³ - x² - 5x - 3 = [ x - (-1) ].(x² - 2x - 3)
x³ - x² - 5x - 3 = (x + 1).(x² - 2x - 3)
Podemos factorizar el segundofactor, así que
x³ - x² - 5x - 3 = (x + 1)(x - 3)(x + 1)
x³ - x² - 5x - 3 = (x + 1)².(x - 3)
Esto significa que la inecuación nuestra es:
(x + 1)².(x - 3) > 0
Para que un producto de 2 factoressea positivo (es decir, mayor que 0) se necesita que ambos factores tengan el mismo signo, luego o bien
* ambos son positivos:
(x + 1)² > 0 . . . y . . . x - 3 > 0
todo número real elevado alcuadrado es positivo o 0, luego nos queda la opción de saber los valores de (x + 1) que NO son 0:
x + 1 ≠ 0 . . . y . . . x > 3
x ≠ -1 . . . y . . . x > 3
x > 3
o bien
* ambos son negativos:
(x + 1)²< 0 . . . y . . . x - 3 < 0
ningún número real elevado al cuadrado da negativo, por lo cual el resultado de esa parte es el conjunto vacío:
vacío . . . y . . . x < 3
vacío
Así, la solución de lainecuación es la unión de las soluciones a los dos casos anteriores:
(x > 3) ó (vacío)
x > 3
Solamente los valores de "x" que sean mayores a 3 satisfarán la desigualdad.
El segundo es mucho mássimple:
x² - 4 > 0
La parte izquierda es una diferencia de cuadrados:
x² - 2² > 0
(x + 2)(x - 2) > 0
y al igual que antes, un producto es positivo si sus factores tienen el mismo signo...
* ambospositivos:
x + 2 > 0 . . . y . . . x - 2 > 0
x > -2 . . . y . . . x > 2
x > 2
* ambos negativos:
x + 2 < 0 . . . y . . . x - 2 < 0
x < -2 . . . y . . . x < 2
x < -2
por tanto la solución es...
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