Anejo1sistemasreferencia

Dpto. Física y Mecánica

Sistemas de coordenadas
y sistemas de referencia

La descripción del movimiento de un cuerpo
requiere la introducción de un sistema de
coordenadas
espaciales
que
identifiquen
unívocamente cada punto del espacio, y una
coordenada temporal,
temporal la cual determina el orden
cronológico de sucesos en cualquier punto del
espacio.
espacio
A este conjunto de coordenadasespacio-temporal
espacio temporal
se denomina sistema de referencia.
OCW‐UPM

1 Sistemas
1.
Si t
de
d referencia
f
i

Un sistema de referencia viene dado por un punto
de referencia denominado origen y un sistema de
coordenadas. El origen de coordenadas es el punto
de referencia de un sistema de coordenadas y en él
el valor de todas las coordenadas del sistema es
nulo.
Sobre cada uno de los ejes sedefinen vectores
unitarios, denominados versores, que indican la
dirección del eje.

OCW‐UPM

2 Sistemas
2.
Si t
de
d coordenadas
d
d

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores
y puntos que permiten definir unívocamente la posición
de cualquier punto de un espacio euclídeo.
El p
primero q
que expresó
p
la p
posición de un p
punto en el
plano o en el espacio fue Descartes, por lo que sesuele
referir a ellas como coordenadas cartesianas.
Para representar un punto en un plano, utilizó dos rectas
perpendiculares
di l
entre
t sí,
í de
d forma
f
que la
l posición
i ió del
d l
punto se determinaba midiendo sobre los ejes las
distancias al punto.
punto
OCW‐UPM

Sobre dichas rectas se definen vectores unitarios o
versores perpendiculares entre sí que son vectores de
módulo unidad, q
quedeterminan una base ortonormal.
y

x
y
x
OCW‐UPM

2.1. Sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z)

Un sistema de coordenadas cartesianas se define por
dos ejes
j ortogonales
g
en un sistema bidimensional y tres
ejes ortogonales en un sistema tridimensional, que se
cortan en el origen O.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán
d d por las
dadas
l proyecciones
i
d l vector
del
t de
dposición
i ió del
d l
punto sobre cada uno de los ejes.

OCW‐UPM

2.1. Sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z)

Z

Y

‐X

-Y

-X

Y

X
X
-Y
Y

2D

-Z

3D
OCW‐UPM

G
Dado un vector r del espacio tridimensional y tres
G
planos que se cortan en el punto de origen de r , se
definen las coordenadas cartesianas (x,y,z)
(x y z) como las
tres proyecciones ortogonales del vector sobre las tres
aristas deintersección de los planos perpendiculares;
los tres planos se identifican por yz, zx, xy
respectivamente.
p
En un sistema GdeGcoordenadas
cartesianas se definen
G
los versores ( i , j , k ) en la dirección de los ejes x, y, z
respectivamente.
OCW‐UPM

Variación infinitesimal de las coordenadas

Si las coordenadas del punto
varían infinitesimalmente en el
espacio, siendo tales variaciones
dx, dy, dz,la variación que ha
experimentado
p
el vector de
posición es
G
G
G
G
dr = dxi + dyj + dzk
X

Z P(x,y,z)

P( d
P(x+dx,y+dy,z+dz)
d
d )

Y

y el punto habrá recorrido un
elemento
l
t diferencial
dif
i l de
d arco
ds = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
OCW‐UPM

El
Elemento
t dif
diferencial
i ld
de superficie
fi i

Dada la superficie A, seleccionamos un elemento
diferencial de superficie.
El vectorcaracterístico de la superficie (dA), tiene tres
componentes, cada una de ellas dirigida sobre cada uno
de los ejes.

G
G
G
G
dA = dAx i + dAy j + dAz k

Z

A

Y
X
OCW‐UPM

El
Elemento
t dif
diferencial
i ld
de superficie
fi i

Los valores de las componentes se obtienen proyectando
el elemento diferencial de superficie sobre los tres planos
coordenados
Z

dy
dz
dz
dx

Y
dy

X

dx

G
G
G
G
dA = dy
d ·ddzii +dx
d ·dzj
d j + dx
d ·dyk
d k
OCW‐UPM

El
Elemento
t dif
diferencial
i l de
d volumen
l

Dada un volumen V,
V se
selecciona un elemento
diferencial de volumen
formado
por
un
paralelepípedo
cuyas
aristas (dx, dy, dz) son
paralelas a los ejes
p
j
coordenados, de forma
que

Z

dz
dy

dx

Y

X

dV=dx·dy·dz
OCW‐UPM

2 2 Sistema
2.2.
Si t
de
d coordenadas
d
d polares
l
(r,
( θ)

Para representar...