Anexo Unidad II Simplex Max

MÉTODO SIMPLEX

Ejemplo de Simplex:
Vamos a resolver el siguiente problema: 
Maximizar

Z = 3x1 + 2x2

Sujeto a:

2x1 + x2 ≤ 18

 

2x1 + 3x2  ≤ 42

 

3x1 + x2  ≤ 24

 

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

Se consideran los siguientes pasos:
1. Convertir

las desigualdades en igualdades:

 

•Se introduce una variable de holgura por cada una de las
restricciones, en este caso s1, s2, s3 para convertirlas enigualdades y formar el sistema de ecuaciones standar.
•Usando en simplex el siguiente criterio:

 
 

Signo:

Introducir

≤

sn

FORMA ESTANDAR:
2x1 + x2 + s1

= 18

2x1 + 3x2

= 42

3x1 + x2

+ s2

+ s3 = 24

2. Igualar la función objetivo a cero y después agregar
la variables de holgura del sistema anterior:
Z - 3 x1 - 2 x2 = 0
3.Escribir el tablero inicial simplex:
•En las columnas aparecerántodas las variables del problema y, en las
filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada
restricción y la primera fila con los coeficientes de la función objetivo: 

Tablero Inicial
Base

Variable de
decisión

Variable de holgura

Solución

X1

X2

S1

S2

S3

Z

-3

-2

0

0

0

0

S1

2

1

1

0

0

18

S2

2

3

0

1

0

42

S3

3

1

0

0

1

24

4. Encontrar lavariable de decisión que entra en la
base y la variable de holgura que sale de la base
 
A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, observamos
la primera fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo y
escogemos la variable con el coeficiente más negativo.
•En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3.
•Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan lacondición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos.
•
•Si en la primera fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que
se ha alcanzado la solución óptima.
•Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del
método del simplex, es que en la primera fila no haya elementos negativos.
•La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote.

 B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base,
se divide cada término de la ULTIMA columna (valores solución) por el
término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos
sean mayores que cero.
 
•Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho
cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o
iguales a cero, entoncestendríamos una solución no acotada y no se
puede seguir.
 
•El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al
menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable
de holgura que sale de la base, S3. Esta fila se llama fila pivote .  

 

Iteración No. 1
Base

Variable de
decisión

Variable de holgura

Solución

Operación

X1

X2

S1

S2

S3

Z

-3

-20

0

0

0

S1

2

1

1

0

0

18

18/2 = 9

S2

2

3

0

1

0

42

42/2 = 21

S3

3

1

0

0

1

24

24/3 = 8

• Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de
las variables correspondientes pueden salir de la base.
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento
pivote operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra yla
variable de holgura S3 sale.

5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de
simplex.
 
• Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los
coeficientes de la fila por el pivote operacional “3”, ya que este se debe
convertir en 1.
 
• A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los
restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemoslos nuevos
coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. 

Resultado de Iteración No. 1
Base

Variable de
decisión

Variable de holgura

Solución

Operación

X1

X2

S1

S2

S3

Z

0

-1

0

0

1

24

S1

0

1/3

1

0

-2/3

2

f(S1) – 2 f(X1)

S2

0

7/3

0

1

-2/3

26

f(S2) – 2 f(X1)

X1

1

1/3

0

0

1/3

8

(1/3) X1

f(Z) + 3 f(X1)

• Como en los elementos de la...