anexos

Ejemplo 2.29
Suponga que P es el espacio de los polinomios de cualquier grado.
Veamos que no puede existir una colección finita de vectores que generen aun polinomio arbitrario en el espacio P. Razonemos por el absurdo, supongamos que existe una colección finita de vectores que genera a P. Digamos, {p1, p2, ...,pm}. Sea pk el polinomio de mayor grado en P y digamos que N = grad(pk). Entonces el polinomio
xN+1 no puede ser expresado como combinación lineal de lospolinomios p1, p2, ..., pm, lo cual es una contradicción porque ellos generan a P. Por lo tanto, el espacio P no puede ser generado por una colección finita devectores. En este caso la base estándar
de P es:
B = {1, x, x,x3, ..., xn, ...}
Este hecho nos permite afirmar que el espacio de las funciones continuas estambién
un espacio de dimensión infinita.


EJEMPLO 37
Demuestre que el espacio P de todas las funciones polinómicas de coeficientes reales es la dimensióninfinita.
  
Solución.
Sea B un subconjunto finito de P. Como existe solo un número finito de funciones en B, existe una función  en B que posee máximo grado m; osea, si g está en B entonces el grado de g es menor que m. Sea hcualquier función en el espacio generado por B. Entonces h es la suma de múltiples escalares defunciones polinómicas cada una de ellas de grado menor que m, de modo que el grado de h no puede ser mayor que m. Pero P tiene funciones de grado  y mayores,entonces B no puede generar a P. Como B es un conjunto arbitrario, entonces P no tiene un conjunto generador finito, luego P es de dimensión infinita.