angulo de recta y plano

Ángulo de recta y plano

El ángulo que forman una recta, r, y un plano, π, es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r'.

El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano.



Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la rectay elvector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Ejemplos
1. Determinar el ángulo que forman la recta y el plano .




Ángulo de dos rectas

El ángulo que forman dos rectas igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.

Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.


EjemplosHallar el ángulo que forman las rectas:
1.




Ecuación del plano

Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector tiene que ser coplanario con y , es decir, que dependa linealmente de y .Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:


Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada delsistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollando el determinante obtenemos:

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:


Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dadapor:



Ejercicios
1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a y .




2.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector .




3.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1),B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).





Cosenos directores

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector = (x, y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.





Ejemplo
Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).




Cónicas


Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, generatriz,alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice.
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.
Elipse


α < β β
Si el plano corta a las doshojas.
Cosenos directores
Las componentes de un vector unitario en una base ortonormal , son el coseno y el seno que forma con el vector de la base.

Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta, ya que la segunda puede escribirse como: sen α = cos(90º - α).
Distancia entre dos puntos




Ejemplo
Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).


EjerciciosDeterminar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten una unidad.



Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1,


I N T R O D U C C I O N
En el presente trabajo se detalla un resumen general de la materia “Álgebra Lineal “, en el cual se tratara de enlazar las relaciones de todos los temas vistos en él transcurso...