Angulo doble

Ángulo doble








Fórmulas para reducir la potencia
De las identidades de cos ( 2 x ) podemos deducir:
sen 2 ( x ) = 1 − cos ( 2 x ) 2
cos 2 ( x ) = 1 + cos ( 2 x) 2tan 2 ( x ) = 1 − cos ( 2 x ) 1+ cos ( 2 x )
Ejemplos:
1. Encontrar sen(2x) y cos(2x) dada la información: sec(x)=2 y x está en el cuadrante IV.
Solución:
a. De la definición de la función secante sabemos que: sec (x) = 1 cos (x) , entoncespodemos hallar fácilmente cos(x):
1 cos (x) =2 , por lo tanto despejando obtenemos: cos (x) = 1 2
Por la identidad de pitágoras sabemos que: sen (x) = − 1 − cos 2 (x) , se utiliza la raíz negativa yaque x está en el cuarto cuadrante. Con esta fórmula podemos hallar fácilmente sen(x):
sen ( x ) = − 1 − ( 1 2 ) 2 = − 1 − 1 4 = − 3 4 = − 3 2
De las fórmulas antes mostradas sabemosque sen ( 2 x ) = 2 sen ( x ) cos ( x ) , entonces:
sen ( 2 x ) = 2 − ( − 3 2 ) 1 2 = − 3 2
igualmente sabemos que cos ( 2 x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) , entonces:cos ( 2 x ) = ( 1 2 ) 2 − ( − 3 2 ) 2 = 1 4 − 3 4 = − 2 4 = − 1 2
2. Usar las identidades para reducir la potencia, reescribiendo la expresión en términos de la primera potencia de coseno: 
      cos 2 ( x ) sen 2 ( x )
Solución:cos 2 ( x ) sen 2 ( x ) = ( 1 + cos ( 2 x ) 2 ) ( 1 − cos ( 2 x ) 2 ) = 1 − cos 2 ( 2 x ) 4 = ( 1 4 − cos 2 ( 2 x ) 4 ) = 1 4 − 1 4 ( 1 + cos ( 4 x ) 2 ) = 1 4 − ( 1 + cos( 4 x ) ) 8 = 2 − 1 − cos ( 4 x ) 8 = 1 − cos ( 4 x ) 8
3. Reescribir sen 4 ( x ) como una suma de primeras potencias de coseno.
Solución:sen 4 ( x ) = ( sen 2 ( x ) ) 2 = ( 1 − cos ( 2x ) 2 ) 2 = 1 4 ( 1 − 2 cos ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) ) = 1 4 ( 1 − 2 cos ( 2 x ) + ( 1 + cos ( 4 x ) 2 ) ) = 1 4 − 1 2 cos ( 2x ) + 1 8 ( 1 + cos ( 4 x ) ) = 2 − 4 cos ( 2 x ) + 1 + cos ( 4 x ) 8 = 1 8 ( 3 − 4 cos ( 2 x ) + cos ( 4 x ) )


4. Considera la gráfica siguiente de la función f ( x ) = 4 cos 2 ( x ) − 2

Se parece mucho a una transformación de la gráfica de coseno. Si la gráfica es una transformación de la de coseno, ¿cuál podríaser?...