Angulo entre una recta y un plano

II.3.1 ANGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Sea una recta L definida por un punto P0 y su vector director ῡ = (u1, u2, u3), y sea un plano definido por un punto P1 y su vector normal N̅ = (A, B, C,).DEFINICION.- El ángulo entre el plano y la recta L, es el ángulo que forma la recta L con su proyección ortogonal sobre el plano π.
Se entenderá por proyección ortogonal de la recta L sobre elplano π, la intersección de π con un plano perpendicular a π y que contiene a la recta L.

π1 N̅
u̅
L 1 L 900 π

En esta figura π1 es un plano perpendicular al planoπ y que contiene a la recta L, la intersección del plano π1 y π se ha representado por el L1, el ángulo entre π y L es el ángulo θ que hay entre las rectas L y L1.
Nótese que el ángulo escomplementario al que forman los vectores ῡ y N̅.

N̅

ῡ

Ø
θ L1
Así se tiene que:
Ø= 90o – θ
Recuerdes que para calcular Ø se obtuvo la expresión:
cos Ø=(N̅⦁u̅)/(ǀN ̅ǀ ǀu̅ǀ)

De donde:
cos(90o – θ)= (N̅⦁u̅)/(ǀN ̅ǀ ǀu̅ǀ)

Pero:
cos (90o –θ) = cos 90o cos θ + sen 90o sen θ= sen θ.

Finalmente:
sen θ = (N̅⦁u̅)/(ǀN ̅ǀ ǀu̅ǀ)
ó:
θ = sen-1 (N̅⦁u̅)/(ǀN ̅ǀ ǀu̅ǀ)

Esta expresiónpermite calcular el ángulo entre una recta y un plano.
Ejemplo 1:
Obtener el ángulo entre el plano 3x + 2y – 3z – 5 = 0 y la recta
(x+3)/4 = (y-2)/3 = z/2
Solución:
De la ecuación del plano N̅ = (3, 2,-3)
De las ecuaciones de la recta u̅ = (4, 3, 2)
θ = sen-1 ((3,2,-3) (4,3,2))/(√(〖(3)〗^2+ 〖(2)〗^2+ 〖(-3)〗^2 ) √(〖(4)〗^2+ 〖(3)〗^2+ 〖(2)〗^2 ))= sen-1 12/√(22 √29) = -sen 12/√638
θ≗ 28.36o
EJEMPLO 2:
Obtener el ángulo entre el plano 6x + 4y – 6z – 10 = 0 y larecta(x+6)/8 = (y-4)/6 = z/4
Solución:
De la ecuación del plano N̅=(6,4,-6)
De las ecuaciones de la recta u̅=(8,6,4)
θ= sen-1 ((6,4,-6) (8,6,4))/(√(〖(6)〗^(2 )+ 〖(4)〗^2+...