angulodobletrigonometria

DEMOSTRACIÓN DE
LAS FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO DOBLE
Fórmulas trigonométricas del ángulo doble. Para cualquier valor x ∈ R se verifica que

sen2 x =2 ⋅ senx ⋅ cos x , cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x

y tan 2 x =

2 ⋅ tan x
(salvo tan x = ±1 )
1 − tan 2 x

Demostración
Por las fórmulas de adicióntrigonométricas sabemos que para cualesquiera a, b ∈ R se verifican las
siguientes igualdades:

1) sen(a + b) = sena ⋅ cos b + cos a ⋅ senb
2) cos(a + b) = cos a ⋅ cos b −sena ⋅ senb
Sea cualquier valor x ∈ R . En ese caso, si en las fórmulas anteriores hacemos a = b = x, tendremos
que:
1) sen( x + x) = senx ⋅ cos x + cos x ⋅senx ⇔ sen2 x = 2 ⋅ senx ⋅ cos x
2) cos( x + x) = cos x ⋅ cos x − senx ⋅ senx ⇔ cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x
que es lo que se pretendía demostrar.

Por otraparte, como tan a =

sena
, entonces:
cos a
tan 2 x =

sen2 x
cos 2 x

salvo tan x = ±1 .
Aplicando las fórmulas ya calculadas, sen2 x = 2 ⋅ senx ⋅ cos x , cos2 x = cos 2 x − sen 2 x ,

tan 2 x =

sen2 x
2 ⋅ senx ⋅ cos x
=
cos 2 x cos 2 x − sen 2 x

1

DEMOSTRACIÓN DE
LAS FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO DOBLEDividiendo toda la expresión por cos2x (salvo cosx = 0) tendremos que:
2 ⋅ senx ⋅ cos x
2 ⋅ tan x
cos 2 x
tan 2 x =
=
2
2
cos x sen x 1 − tan 2 x
−
cos 2 xcos 2 x
Si cosx = 0 entonces tan2x = tan0 = 0 mientras que
tan 2 x =

2 ⋅ tan x
.
1 − tan 2 x

( salvo tan x = ±1)

2 ⋅ tan 0
2⋅0
=
= 0 , por lo que se verificaque
2
1 − tan 0 1 − 0

Por lo tanto, concluimos que
tan 2 x =

2 ⋅ tan x
1 − tan 2 x

( salvo tan x = ±1)

Que era lo que queríamos demostrar.

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