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Páginas: 12 (2965 palabras)
Publicado: 2 de octubre de 2011
C u r s o : Matemática Material N° 32
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 24 UNIDAD: GEOMETRÍA GEOMETRÍA PROPORCIONAL II
TEOREMAS DE EUCLIDES El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y CD es altura. a y b: catetos c: hipotenusa p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.
C
β
α h
p
fig. 1 a
β
b
α A q D
B
cReferente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
h
2 c
=p⋅q
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. a2 = p ⋅ c b2 = q ⋅ cEJEMPLOS 1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 2, CD es altura. ¿Cuál es la medida de CD ? A C A) 3 13 B) 2 13 C) 6 D) 4 E) 36 2.
4
fig. 2 D
9
B En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 3, BD es altura. ¿Cuál es la medida de AD ? C A) 10 2 B) 8 fig. 3 D C) 2 4 D) 2 5 E) 4 5 A B
3.
En el triángulo ABC rectángulo en A de la figura 4, AD es altura. ¿Cuál es la medidade
BC ?
C
A) 2 2 B) 6 2 C) 8 D) 9 E) 10 4.
1
D
fig. 4
3
A
B
En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 5, BD es altura. ¿Cuál es la medida de
AB ?
15
A) 3 5 B) 6 5 C) 6 D) 10 E) 13 5.
A
D
3
C
fig. 5 B
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida de
BC ?
C fig. 6
A) B) C) D) E)
5 8 4 6 4 3 4 2A
D
12
4
B
6.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 7, CD es altura. ¿Cuál es la medida del cateto BC ? A) 48 B) 16 C) 4 3 D) 2 6 4 E)
4 2
B fig. 7
D
2 2
A
C
7.
Según los datos proporcionados por la figura 8, el valor de x es A) B) C) D) E) 1,5 2 5 3 5 5 9 C
4
D
6
fig. 8 x
A 2
B
PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema delas cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra.
AP · PB = CP · PD
C P A
B D
Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual alproducto de la otra secante por su segmento exterior.
PA · PC = PB · PD
B D P C A
Teorema de la tangente y la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior.
PT = PA · PB
2
T
P A B
EJEMPLOS
1.
En la circunferencia de la figura 1, AB y CD soncuerdas que se intersectan en P. Si AP = 9 cm, PB = 12 cm y CP = 18 cm, entonces CD mide fig. 1 D A P C B
A) 24 cm B) 21 cm C) 13,5 cm D) 6 cm 3 cm E)
2.
En la figura 2, PS y PU son secantes a la circunferencia de centro O. Si PR = RS = 14 y PT = 8, entonces TU es igual a S A) B) C) D) E) 8 16,5 24,5 41 49 3 R O U T P fig. 2
3.
En la circunferencia de centro O de la figura 3, AB estangente y AC secante. Entonces, según los datos proporcionados en al figura, ¿cuál es la longitud de DC ? A A) B) C) D) E) 18 21 25 29 30
4 10
fig. 3 D
B C 4. En la figura 4, AC y BD son cuerdas. Si AE = EC , entonces la cuerda AC mide D A) 36 B) 18 C) 9 D) 6 2 E) 3 2
3
A
E
E
6
C
fig. 4 B
5.
En la circunferencia de la figura 5, PS y PR son secantes. Si PQ = 2 cm, QR =5 cm y
PS = 14 cm, ¿cuál es la longitud de PT ?
A) B) C)
1 2 4 5 D) 7 E) 13
cm cm cm cm cm
P
T Q R S
fig. 5
6.
En la circunferencia de centro O de la figura 6, MN es tangente en N y MS es secante. Si MR = 3 cm y RS = 45 cm, entonces la tangente MN mide N
A) 144 cm B) 72 cm C) 32 cm D) 12 cm E) 3 5 cm
fig. 6 M R
O S
4
DIVISIÓN DE TRAZOS DIVISIÓN INTERNA...
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 24 UNIDAD: GEOMETRÍA GEOMETRÍA PROPORCIONAL II
TEOREMAS DE EUCLIDES El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y CD es altura. a y b: catetos c: hipotenusa p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.
C
β
α h
p
fig. 1 a
β
b
α A q D
B
cReferente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
h
2 c
=p⋅q
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. a2 = p ⋅ c b2 = q ⋅ cEJEMPLOS 1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 2, CD es altura. ¿Cuál es la medida de CD ? A C A) 3 13 B) 2 13 C) 6 D) 4 E) 36 2.
4
fig. 2 D
9
B En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 3, BD es altura. ¿Cuál es la medida de AD ? C A) 10 2 B) 8 fig. 3 D C) 2 4 D) 2 5 E) 4 5 A B
3.
En el triángulo ABC rectángulo en A de la figura 4, AD es altura. ¿Cuál es la medidade
BC ?
C
A) 2 2 B) 6 2 C) 8 D) 9 E) 10 4.
1
D
fig. 4
3
A
B
En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 5, BD es altura. ¿Cuál es la medida de
AB ?
15
A) 3 5 B) 6 5 C) 6 D) 10 E) 13 5.
A
D
3
C
fig. 5 B
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida de
BC ?
C fig. 6
A) B) C) D) E)
5 8 4 6 4 3 4 2A
D
12
4
B
6.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 7, CD es altura. ¿Cuál es la medida del cateto BC ? A) 48 B) 16 C) 4 3 D) 2 6 4 E)
4 2
B fig. 7
D
2 2
A
C
7.
Según los datos proporcionados por la figura 8, el valor de x es A) B) C) D) E) 1,5 2 5 3 5 5 9 C
4
D
6
fig. 8 x
A 2
B
PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema delas cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra.
AP · PB = CP · PD
C P A
B D
Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual alproducto de la otra secante por su segmento exterior.
PA · PC = PB · PD
B D P C A
Teorema de la tangente y la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior.
PT = PA · PB
2
T
P A B
EJEMPLOS
1.
En la circunferencia de la figura 1, AB y CD soncuerdas que se intersectan en P. Si AP = 9 cm, PB = 12 cm y CP = 18 cm, entonces CD mide fig. 1 D A P C B
A) 24 cm B) 21 cm C) 13,5 cm D) 6 cm 3 cm E)
2.
En la figura 2, PS y PU son secantes a la circunferencia de centro O. Si PR = RS = 14 y PT = 8, entonces TU es igual a S A) B) C) D) E) 8 16,5 24,5 41 49 3 R O U T P fig. 2
3.
En la circunferencia de centro O de la figura 3, AB estangente y AC secante. Entonces, según los datos proporcionados en al figura, ¿cuál es la longitud de DC ? A A) B) C) D) E) 18 21 25 29 30
4 10
fig. 3 D
B C 4. En la figura 4, AC y BD son cuerdas. Si AE = EC , entonces la cuerda AC mide D A) 36 B) 18 C) 9 D) 6 2 E) 3 2
3
A
E
E
6
C
fig. 4 B
5.
En la circunferencia de la figura 5, PS y PR son secantes. Si PQ = 2 cm, QR =5 cm y
PS = 14 cm, ¿cuál es la longitud de PT ?
A) B) C)
1 2 4 5 D) 7 E) 13
cm cm cm cm cm
P
T Q R S
fig. 5
6.
En la circunferencia de centro O de la figura 6, MN es tangente en N y MS es secante. Si MR = 3 cm y RS = 45 cm, entonces la tangente MN mide N
A) 144 cm B) 72 cm C) 32 cm D) 12 cm E) 3 5 cm
fig. 6 M R
O S
4
DIVISIÓN DE TRAZOS DIVISIÓN INTERNA...
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