ANGULOS_AB
Páginas: 5 (1083 palabras)
Publicado: 8 de noviembre de 2015
ANGULOS
TEORIA
PROLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
O
A
B
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
0º
0º << << 180º
180º
a.1) ÁNGULO AGUDO
0º
0º << << 90º
90º
a.2) ÁNGULO RECTO
== 90º
90º
a.3) ÁNGULO OBTUSO
90º
90º << << 180º
180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
== 90º
90º
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
++ ==180º
180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES
b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Puede formar más ángulos
Un lado común
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Y UNA RECTASECANTE
1
4
5
8
2
3
6
7
01. Ángulos alternos internos:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
04. Ángulos conjugados externos:
m 1+m 8=m 2+m 7=180°
02. Ángulos alternos externos:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
05. Ángulos correspondientes:
m 1 = m 5; m 4 = m 8
m 2 = m 6; m 3 = m 7
03. Ángulos conjugados internos:
m 3+m 6=m 4+m 5=180°
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
01.-Ángulos que se forman por una líneapoligonal entre
dos rectas paralelas.
x
y
++ ++ == xx ++ yy
02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
++ ++ ++ ++ == 180°
180°
03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
++ ==180°
180°
Problema Nº 01
El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calculela
medida del ángulo “X”.
RESOLUCIÓN
La estructura según el enunciado:
90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X
Desarrollando se obtiene:
)}=
2 ( 90° - X
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
Luego se reduce a:
2X = 180°
XX == 90°
90°
)
Problema Nº 02
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el
complemento del primer ángulo es el doble de la
medida del segundo ángulo.Calcule la diferencia
de las medidas de dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: y
Dato: + = 80°
Dato:
( 90° - ) = 2
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - ) = 2 ( 80° - )
90° - = 160° -2
= 80° -
(2)
Resolviendo
(1)
= 70°
= 10°
Diferencia de las medidas
- = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 03
La suma de sus complementos de dos ángulos es
130° y la diferencia de sussuplementos de los
mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos
ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: y
Del enunciado:
+ = 50° (+)
( 90° - ) + ( 90° - ) = 130°
- = 10°
+ = 50°
(1)
2 = 60°
Del enunciado:
( 180° - ) - ( 180° - ) = 10°
= 30°
- = 10°
(2)
Resolviendo: (1) y (2)
= 20°
Problema Nº 04
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC
(AOB
respectivamente. Calcule la medida del ángulo
AOB.
RESOLUCIÓN
De la figura:
B
A
= 60° - 20°
M
= 40°
20°
X
Luego:
X = 40° - 20°
60°
XX==20°
20°
O
C
Problema Nº 05
La diferencia de las medidas de dos ángulos
adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del
ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con
el lado OB.
Delenunciado:
RESOLUCIÓN
A
Construcción de la gráfica según
el enunciado
M
B
Luego se reemplaza por lo que
Se
( observa
+ X) - en
(la- gráfica
X) = 30º
2X=30º
X
O
AOB - OBC = 30°
(- X)
C
XX==15°
15°
Problema Nº 06
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la
medida del ángulo formado por las bisectrices de
los ángulos AOB y COD.RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
A
De la figura:
M
B
2 + = 90°
(+)
+ 2 = 90°
2 + 2 + 2 = 180°
+ + = 90°
C
X
X=++
N
XX==90°
90°
D
Problema Nº 07
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
m
80°
X
30°
n
RESOLUCIÓN
m
80°
X
30°
n
Por la propiedad
80° = + + X
2 + 2 = 80° + 30°
(1)
+ = 55°
Reemplazando...
TEORIA
PROLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
O
A
B
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
0º
0º << << 180º
180º
a.1) ÁNGULO AGUDO
0º
0º << << 90º
90º
a.2) ÁNGULO RECTO
== 90º
90º
a.3) ÁNGULO OBTUSO
90º
90º << << 180º
180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
== 90º
90º
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
++ ==180º
180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES
b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Puede formar más ángulos
Un lado común
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Y UNA RECTASECANTE
1
4
5
8
2
3
6
7
01. Ángulos alternos internos:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
04. Ángulos conjugados externos:
m 1+m 8=m 2+m 7=180°
02. Ángulos alternos externos:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
05. Ángulos correspondientes:
m 1 = m 5; m 4 = m 8
m 2 = m 6; m 3 = m 7
03. Ángulos conjugados internos:
m 3+m 6=m 4+m 5=180°
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
01.-Ángulos que se forman por una líneapoligonal entre
dos rectas paralelas.
x
y
++ ++ == xx ++ yy
02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
++ ++ ++ ++ == 180°
180°
03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
++ ==180°
180°
Problema Nº 01
El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calculela
medida del ángulo “X”.
RESOLUCIÓN
La estructura según el enunciado:
90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X
Desarrollando se obtiene:
)}=
2 ( 90° - X
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
Luego se reduce a:
2X = 180°
XX == 90°
90°
)
Problema Nº 02
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el
complemento del primer ángulo es el doble de la
medida del segundo ángulo.Calcule la diferencia
de las medidas de dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: y
Dato: + = 80°
Dato:
( 90° - ) = 2
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - ) = 2 ( 80° - )
90° - = 160° -2
= 80° -
(2)
Resolviendo
(1)
= 70°
= 10°
Diferencia de las medidas
- = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 03
La suma de sus complementos de dos ángulos es
130° y la diferencia de sussuplementos de los
mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos
ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: y
Del enunciado:
+ = 50° (+)
( 90° - ) + ( 90° - ) = 130°
- = 10°
+ = 50°
(1)
2 = 60°
Del enunciado:
( 180° - ) - ( 180° - ) = 10°
= 30°
- = 10°
(2)
Resolviendo: (1) y (2)
= 20°
Problema Nº 04
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC
(AOB
respectivamente. Calcule la medida del ángulo
AOB.
RESOLUCIÓN
De la figura:
B
A
= 60° - 20°
M
= 40°
20°
X
Luego:
X = 40° - 20°
60°
XX==20°
20°
O
C
Problema Nº 05
La diferencia de las medidas de dos ángulos
adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del
ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con
el lado OB.
Delenunciado:
RESOLUCIÓN
A
Construcción de la gráfica según
el enunciado
M
B
Luego se reemplaza por lo que
Se
( observa
+ X) - en
(la- gráfica
X) = 30º
2X=30º
X
O
AOB - OBC = 30°
(- X)
C
XX==15°
15°
Problema Nº 06
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la
medida del ángulo formado por las bisectrices de
los ángulos AOB y COD.RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
A
De la figura:
M
B
2 + = 90°
(+)
+ 2 = 90°
2 + 2 + 2 = 180°
+ + = 90°
C
X
X=++
N
XX==90°
90°
D
Problema Nº 07
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
m
80°
X
30°
n
RESOLUCIÓN
m
80°
X
30°
n
Por la propiedad
80° = + + X
2 + 2 = 80° + 30°
(1)
+ = 55°
Reemplazando...
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