angulos circunferencia psu

Prof. Guillermo Corbacho C.
gcorbach@uc.cl
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Ejercicios Psu

Presentación:
Los ejercicios que se exponen son extractos de diversas publicaciones escritas en Chile,
orientadas al apoyo de postulantes a la prueba de selección universitaria (PSU). Sin embargo, por
lo general, las publicaciones vistas no contienen la publicación de las soluciones de los mismos,sino que en muchos casos, solo señalan la respuesta final, indicando para ello la alternativa
correcta. Para compensar aquello, el presente trabajo es una recopilación en la cuál se ilustran las
respectivas soluciones a los mismos. Con lo cual los postulantes podrán interiorizarse de las
propiedades y de los procedimientos que suelen intervenir en su solución.
Este trabajo está ideado tambiénpara ser consultado por profesores, dado que, según mi
experiencia personal, la formación universitaria está orientada más a las matemáticas superiores
en lugar de las necesidades prácticas de la educación básica y media.
A continuación -y volviendo por fin a lo que aquí nos atañe. La presentación de ejercicios PSU
considerados bajo este titulo.

Parinacota, Quilicura.

1

Prof. GuillermoCorbacho C.
gcorbach@uc.cl
Consideración Importante:
Convendremos que para indicar el nombre de un arco, lo haremos mencionando los puntos
extremos del mismo, en sentido contrario a las agujas del reloj.
1. Con respecto a la figura, es falso que:
A) EB es cuerda.
B) EBA es ángulo inscrito.
C) CD es cuerda.
D) OA es radio.
E) AB es diámetro.
Solución:
Presentamos en la siguiente figura,alguno de los elementos que componen una ⊗.
O es centro de la ⊗;
QOB y BOT son ángulos del centro;
OBA es ángulo inscrito;
BT es el arco subtendido por el BOT ;
OT , OQ y OB son radios de la ⊗;

AB cuerda de la ⊗;
QT diámetro de la ⊗;
L1 y L 2 son rectas secantes a la ⊗;
L3 es recta tangente a la ⊗;
α es ángulo interior de la ⊗;
δ es ángulo exterior a la ⊗.
A primera vista, todas lasalternativas parecen correctas, pero toda cuerda es un segmento
rectilíneo que une dos puntos de la ⊗ y no se extiende más allá de ella. Es decir, no es una
recta como señala C).
La alternativa falsa es C), pues toda cuerda es un segmento rectilíneo cuyos puntos que la
conforman no quedan fuera de la frontera del circulo definido por la circunferencia, sino que
une dos puntos de la misma,sin extenderse más allá de ella. Mientras que C) señala a una recta
secante, la cuál se extiende más allá de los puntos de una circunferencia.
2. El arco α de la figura mide:
A) 31,5º
B) 63º
C) 90º
D) 126º
E) Otro valor.
Solución:
Todo arco mide el doble que el ángulo inscrito que lo subtiende, por lo tanto, α = 126º.
Alternativa D).

Parinacota, Quilicura.

2

Prof. GuillermoCorbacho C.
gcorbach@uc.cl
3. En la figura el arco BA = 260º (medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas
de un reloj), mientras que PB es tangente a la . Entonces, β mide:
A) 260º
B) 130º
C) 100º
D) 65º
E) 50º
Solución:
Convendremos que para señalar los puntos extremos del arco y la dirección a través de el, que
determina su medida en grados, será en sentido contrario a lasagujas del reloj.
Todo ángulo del centro mide el doble que el ángulo semi inscrito –e inscrito- del arco que
subtiende. Por lo tanto, AOB = 2 PBA = 2 β . Tal como se ilustra en la siguiente figura.
Además:

BA + 2β = 360º
260º +2β = 360º
2β = 360º −260º= 100º
⇒ β = 50º
Alternativa E).

/ :2

4. En la figura AB ≅ BC , entonces es verdad que:
I. α = β
α
III. γ =
II. α + β = γ
2
A)B)
C)
D)
E)

Solo I.
I y II.
II y III.
I y III
I, II y III.

Solución:
I. α y β son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco de circunferencia, por lo que son
iguales. α = β .
I. es verdadera.
II. Todo ángulo del centro mide que su ángulo inscrito.
Entonces:
γ = 2α

= α +α
=α + β

y por ser α = β

II. Es verdadera.
III. Como γ = 2α ⇒ III. Es falsa.
Solo I y II....