Angulos Y Triangulos

Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°. Determine la longitud del tercer lado. Solución. 
Supongamos que 
a = 6 
b = 10 
C=120° , y el tercer lado es c. 

Entonces por la Ley de Cosenos tenemos que:

c2=a2+b2 -2abcosC
c2=62+102 -2(6)(10)cos120º
c2=36+100-2(6)(10) (-1/2)c2=196
Por lo tanto c = 14.

1.- Determine cual es el valor del otro lado dado que 
Considerando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y unángulo, tenemos:
 

 

Ejemplo 1.
Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°.
Determine la longitud del tercer lado.
Solución.Supongamos que a = 6, b = 10, ∠ = ° C 120 , y el tercer lado es c. Entonces por la
Ley de Cosenos tenemos que:
2 2 2
2 2 2
2
2
2
6 10 2 6 10 120
1
36100 2 6 10
2
196
c a b ab cosC 
c ( )( )cos
c ( )( )
c
= + −
= + − °
 
= + − − 
 
=
Por lo tanto c = 14.
Ejemplo 2.
Un triángulo ABC tienelados AB = 3 , BC = 1 y AC = 2. Determine las medidas
de sus ángulos.
Solución.
En este caso, tenemos que c = 3 , a = 1 y b = 2. Entonces aplicando la leyde
Cosenos obtenemos:
( )
2 2 2
2
2 2
2
3 1 2 2 1 2
1
2
          c a b ab cosC 
     ( )( )cosC
cosC
= + −
= + −
⇒ =
Por lo tanto ∠ = ° C 60 .Por otra parte tenemos que:
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2
2 2
2
1 2 3 2 2 3
3
2
          a b c bc cos A
         cos A
  cos A
= + −
= + −
⇒ =
Por lotanto ∠ = ° A 30 .
Así, calculamos el tercer ángulo: ∠ = ° − ∠ − ∠ = ° − ° − ° = ° B A C 180 180 30 60 90 .
Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.