Angulos

1. Clasificación de ángulos y triángulos

a. Conversiones de ángulos

1.- 30o =

2.- 60o =

3.- 90o =

1.- π3 =

2.- π2 =

3.- 2π3 =

2. Solución del triángulo rectángulo
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

Resolver eltriángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2. Se conocen los dos catetos

Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m

3. Seconocen la hipotenusa y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B   c = 5.2 ·1.3270 = 6. 9 m

a. Teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre: 
Si un triángulo tiene lados de longitud (a, b, c), con los lados (a, b)formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que
a2 + b2 = c2
Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a, b, c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y bdebe ser de 90 grados.
Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque 
a2 + b2 = 32 + 42
= 9 + 16 = 25 = c2
Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3, 4, 5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavoscon esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina. 
Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Por ejemplo 
152 = (10 + 5)2
   = 102 + (2)(10)(5) + 52
   = 100 + 100 + 25    = 225
y 
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
Porejemplo: 
52 = (10 - 5)2
   = 102 - (2)(10)(5) + 52
   = 100 - 100 + 25    = 25
También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab. 
Vea elcuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a, b, c). La longitud de cada lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2. 
No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a, b, c) más un cuadrado de lado c en el centro. El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el área del cuadrado es c2. Como el cuadradogrande es igual a la suma de todas sus partes
(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2
Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2 
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Reste 2ab de ambos lados y obtendrá 
a2 + b2 = c2
Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos como los...