Angulos

C u r s o : Matemática Material N° 16
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta ( OA). CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia ( DE ).

r O

0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r)

RADIO:

D B P

cuerda diámetro secante

E
arco

O

C
radio

A Q M

DIÁMETRO:

Cuerda

que

contiene

al

centro

de

la

circunferencia ( BC ). SECANTE: TANGENTE: ARCO: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia ( PQ ).

Ttangente

Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto ( TM ). T punto de tangencia. Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella ( CE ).

ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ( DOE).

D O E H

ÁNGULO INSCRITO:

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de lacircunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta ( GHF).

G F

EJEMPLO

1.

¿Cuál(es) de las siguientes opciones es falsa? A) B) C) D) E) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro En circunferencias congruentes los radios son congruentes Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos delcentro Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

2.

En la circunferencia de centro O (fig. 1), AC es diámetro. Entonces, el valor de

es

A) B) C) D) E)

10º 20º 40º 80º 140º A

C O
20º

fig. 1

B

3.

En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 2, ¿cuánto mide el

ACB?

A) B) C) D) E)

22º 34º 36º 44º 68º

C fig. 2 O
68º

A

B4.

En la circunferencia de centro O de la figura 3, el ángulo ABC? A) B) C) D) E) 140º 125º 120º 110º 95º

AOB = 70º y

BOC = 40º. ¿Cuánto mide

O A B C

fig. 3

2

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.
D

DE =
TEOREMA

DOE =
E

O

Todo ángulo inscrito en unacircunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. C D =
1 2

0 A B

0 A

0 B

E

A

B

O: centro de la circunferencia

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que BA x es Entonces, la medida del

DC

y

AED + CB = 3 BA .

A) B) C) D) E)

45º 60º 72º 84º 90º

C B x A D O E fig. 1

2.

AC y BEson diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si entonces el BDC mide

AOB = 2

BOC,

A) B) C) D) E)

30º 35º 45º 600º 120º

E

D C O fig. 2 B

A

3

TEOREMA

Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.

= B A
TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. C ACB = 90º A O B O: centro dela circunferencia

TEOREMA

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

QP tangente en P

QP

OP

O

r P

Q

EJEMPLOS

1.

En la figura 1,

TPQ = 140º y

PRQ = 15º. ¿Cuánto mide el

PQT?

A) B) C) D) E)

15º 20º 25º 30º 35º

T

R fig. 1 P Q

4

2.

AC es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 2).¿Cuánto mide el ángulo BCA?

A) B) C) D) E)

15º 25º 35º 55º 70º

A

O
55º

C fig. 2

B

3.

En la figura 3, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el

TPO?

A) B) C) D) E)

10º 20º 30º 40º 50º

T P
40º

O fig. 3

4.

En la circunferencia de centro O de la figura 4, PA y PB son tangentes en A respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?...