Anillo Y Cuerpo

ESTRUCTURA DE ANILLO

Se consideran ahora dos conjuntos A y dos LCI distintas definidas en A, que suelen llamarse adición (+) y multiplicación (.). Pueden estudiarse las propiedades relativas acada LCI o a ambas juntas.

DEFINICIÓN.
Un anillo R(={A, +, .}) está constituido por un conjunto A y dos leyes de composición interna, adición (+) y multiplicación (.), definidas en A, que cumplen laspropiedades siguientes:
I. El conjunto A y la adición constituyen un grupo conmutativo, (el elemento neutro es el cero y se designa 0; el simétrico de cada elemento a se llama opuesto de a y sedesigna -a).
II. La multiplicación es asociativa, es decir la relación:
(x.y).z = x.(y.z) es verdadera para elementos cualesquiera x, y, z del conjunto A.
III. La multiplicación esdistributiva respecto a la adición, es decir, las relaciones
x.(y+z) = (x.y)+ (x.z)
(y+z).x = (y.x) + (z.x) son verdaderas para cualesquiera elementos x,y,z del conjunto A
IV. La multiplicación esconmutativa, es decir, la relación:
x.y = y.x es verdadera para elementos cualesquiera x, y, z del conjunto A.
V. En A existe un elemento llamado unidad, designado por 1, que es neutro respecto de lamultiplicación, es decir, para todo x de A se verifica la relación:
1.x = x.1 = x
Un anillo que cumple la propiedad IV se llama conmutativo, y se verifica la propiedad V se denomina anillo conunidad.
Un anillo con unidad puede tener la propiedad siguiente:
VI. Para cada elemento a de A que sea distinto de 0 existe un elemento a' de A tal que a y a' son simétricos respecto de lamultiplicación, es decir, que verifican las relaciones
a. a' = a'.a = 1
(Los elementos a y a' se llaman entonces inversos entre sí, y a' se designa a-1 )
Un anillo con unidad se llama cuerpo si se cumple lapropiedad VI. Si tiene además la IV se llama conmutativo.

Nota: obsérvese que el conjunto de los elementos de un cuerpo, excluido el 0, constituye un grupo con la multiplicación. Se le llama el...