Anillo

´ ´ Ampliacion Matematica Discreta
´ Justo Peralta Lopez
U  A´ ı ´ D  A  A´  M´   

Anillos y cuerpos

1

Anillos

2

Cuerpos e ideales

3

El anillo cociente

3

´ Mas sobre anillos e ideales

´ ´ Ampliacion Matematica Discreta

Anillos y cuerpos

Anillos y cuerpos Anillos

´ Definicion ´ ´ Sea R un conjunto deelementos con dos operaciones binarias, adicion y multiplicacion. ´ Dicho conjunto tendra estructura de anillo si satisface ´ R1 R es un grupo abeliano bajo la adicion. ´ R2 R es asociativa bajo la multiplicacion. ´ ´ R3 La multiplicacion es distributiva respecto la adicion, es decir, para cualquier a , b , c ∈ R a .(b + c ) = a .b + a .c

(a + b ).c = a .c + b .c
Definiciones
1

´ Un anillo esun anillo con identidad si posee una identidad (tambien llamada unidad) ´ para la multiplicacion, tal que

∀a ∈ R , a ,1 = 1.a = a
2 3

Un anillo es un anillo conmutativo si el producto es conmutativo. Un anillo es un dominio de integridad si es un anillo conmutativo con identidad e tal que ab = 0 implica a = 0 o b = 0. ´ Un anillo es un anillo de division si los elementos no nulos de R formaun grupo ´ respecto la multiplicacion.
´ ´ Ampliacion Matematica Discreta Anillos y cuerpos

0

4

Anillos y cuerpos Anillos

Ejemplo
1 2

´ El conjunto de los numeros enteros es un anillo conmutativo, pero no un cuerpo. ´ ´ ´ Z2 = {0, 1}, con la adicion y multiplicacion modulo 2 es un cuerpo. En general, Zp es ´ ´ un cuerpo si y solo si p es primo. Este cuerpo tambien es denotadopor GF (p ), el cuerpo de Galois de p elementos. Tabla para GF(2) ´ Adicion + 0 1 0 0 1 1 1 0 Tabla para GF(3) ´ Adicion + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

´ Multiplicacion . 0 1 0 0 0 1 0 1

´ Multiplicacion . 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

´ ´ Ampliacion Matematica Discreta

Anillos y cuerpos

Anillos y cuerpos Cuerpos e ideales

Teorema Todo dominio de integridad finito es un cuerpo. ´Definicion Un subconjunto J de un anillo R es un subanillo de R si S es cerrado bajo + y ., y forma un anillo respecto ambas operaciones. ´ Definicion Un subconjunto S de un anillo R es un ideal si satisface
1 2

´ S es un subgrupo de R bajo la adicion. Para cualquier s ∈ S y r ∈ R, s .r ∈ s.

Ejemplo
1

´ Sea Q el cuerpo de los numeros racionales. Entonces el conjunto Z de los enteros es 1un subanillo de Q, pero no un ideal ya que 1 ∈ Z, 1 ∈ Q, pero 2 ,1 = 1 Z 2 2 Sea R un anillo conmutativo, a ∈ R, y sea J = {ra : r ∈ R },entonces J es un ideal.

2

´ ´ Ampliacion Matematica Discreta

Anillos y cuerpos

Anillos y cuerpos Cuerpos e ideales

´ Definicion Sea R un anillo conmutativo. Un ideal J de R es principal si existe un elemento a ∈ R al que J = (a ) = {ra |r ∈ R }Nota Ya que los ideales son subgrupos normales del grupo aditivo formado por el anillo, un ideal ´ J induce una particion sobre R de la misma forma que ocurr´a con los grupos. A las clases ı ´ ´ que definen dicha particion se les llama clases residuales modulo J. A la clase residual de un elemento a ∈ R lo notaremos por [a ] = a + J y diremos que dos elementos del anillo, a ´ y b, son congruentesmodulo J si pertenecen a la misma clase residual, es decir, si ´ a − b ∈ J. Ademas se puede verificar que si a ≡J b entonces a + r ≡J b + r, ar ≡J br y ra ≡J rb para todo r ∈ R y na ≡J nb para todo n ∈ N ´ Definicion ´ El anillo de clases residuales de R modulo J bajo las operaciones

(a + J ) + (b + J ) = (a + b ) + J
,

(a + J )(b + J ) = ab + J
la llamamos anillo cociente y lo notamos por R /J.´ ´ Ampliacion Matematica Discreta Anillos y cuerpos

Anillos y cuerpos Cuerpos e ideales

Ejemplo Los elementos de Z/(n) son

[0] = 0 + (n), [1] = 1 + (n), . . . , [n − 1] = n − 1 + (n)
Teorema Si p es primo, entonces Z/(p ) es un cuerpo. ´ Definicion Si R es un anillo arbitrario y existe un entero positivo n tal que nr = 0, entonces al menor de esos enteros lo llamamos caracter´stica...