Anillos especiales

Cap´ ıtulo

8 Anillos Especiales
8.1 Conceptos B´sicos a

En este cap´ ıtulo nos dedicaremos al estudio de algunos anillos especiales que poseen ciertas condiciones adicionales, aparte de las propias de la definici´n, como por ejemplo los Dominios de Integridad, los Doo minios de Factorizaci´n Unica y los Dominios Euclideanos. o A todo dominio de integridad se le puede asociar un cuerpo,llamado Cuerpo de Fracciones, en el cual se sumerge de la misma manera como los n´meros enteros se insertan en los n´meros racionales. Veremos u u como se construye este cuerpo de cocientes y el homomorfismo que permite obtener esta interesante conexi´n. o Una de las propiedades fundamentales del anillo de los n´meros u enteros es que todo entero se expresa de manera unica como un producto ´ de n´merosprimos. Esta propiedad se generaliza en forma natural a u los Dominios de Integridad, originandose as´ el concepto de Dominio de ı Factorizaci´n Unica. o Existen algunos anillos que gozan de buenas propiedades de factorizaci´n y divisibilidad. Entre ellos se encuentran los Dominios Euo clideanos, los cuales son a la vez dominios de Factorizaci´n Unica. Los o ejemplos m´s conocidos de un DominioEuclideano son los n´meros ena u teros y los polinomios, pero tambi´n existen otros no tan usados como e son los Enteros de Gauss. Haremos un estudio de estos enteros y sus propiedades m´s relevantes. a En todo este cap´ ıtulo, cuando se diga anillo, supondremos que se trata de un anillo conmutativo con unidad. Definici´n 8.1.1 Sea R un anillo. Un ideal P de R (P = R), se dice o ideal primo, si paratodo a, b en R tales que ab ∈ P , entonces a ∈ P ´ b ∈ P. o 169

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Cap´ ıtulo 8. Anillos Especiales

Ejemplo: Sea R = Z anillo de los enteros y J el ideal formado por Z los n´meros pares. Entonces J es un ideal primo de R. u Definici´n 8.1.2 Sea R un anillo. Un ideal M de R (M = R), se o llama ideal maximal, si para todo ideal J tal que M ⊆J ⊆R se tiene M =J o ´ J =R

Proposici´n 8.1.1Sea P un ideal de R. Entonces P es un ideal primo o si y s´lo si R/P es un dominio de integridad. o Demostraci´n: =⇒) Sea P un ideal primo de R. Supongamos que o existen elementos a + P y b + P en el anillo cociente R/P tal que (a + P )(b + P ) = 0 Luego ab + P = P y por lo tanto ab ∈ P Como P es un ideal primo, se tendr´ a a∈P Luego a+P =0 ´ b+P =0 o Por lo tanto R/P , es un anillo conmutativocon unidad, el cual no tiene divisores de cero y luego es un Dominio de Integridad. ´ b∈P o

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⇐=) Por otro lado supongase que R/P es un domino de integridad. Si P no es primo, existen elementos a y b en R tal que a ∈ P, b ∈ P Luego a+P =0 y b+P =0 pero (a + P )(b + P ) = ab + P = 0 Esto implica que a + P es un divisor de cero, lo cual es una contradicci´n. Luegoa ∈ P o b ∈ P . o Adem´s P = R, pues R/P = (0). En conclusi´n, el ideal P es a o primo. ♠ Proposici´n 8.1.2 Sea M un ideal de un anillo R. Entonces M es o maximal si y s´lo si R/M es un cuerpo. o Demostraci´n: =⇒) Sabemos que R/M es un anillo conmutativo o con unidad, pues R lo es. Solo falta probar que todo elemento de R/M distinto de cero es inversible, para que R/M sea un cuerpo. Sea a + M = 0en R/M . Luego construimos el ideal J de la forma siguiente: J = Ra + M Se tiene entonces que M ⊆ J, pues a ∈ M y por ser M un ideal maximal, se deduce de la definici´n que o Ra + M = R Como 1 ∈ R se tiene de (??) (8.1) y ab ∈ P

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Cap´ ıtulo 8. Anillos Especiales

ra + m = 1

(8.2)

para algunos elementos r ∈ R y m ∈ M . Por lo tanto, usando (??) se concluye (r + M )(a + M ) = 1 + MLuego hemos probado que r + M es el inverso de a + M . ⇐=) Supongase ahora que R/M sea un cuerpo. Sea I un ideal de R tal que M ⊆I⊆R Si suponemos que I = R, entonces el ideal I/M es un ideal propio de R/M . Pero los unicos ideales de R/M son (0) y ´l mismo, pues ´ e R/M es un cuerpo. Luego I/M = (0) de donde I=M Por lo tanto M es un ideal maximal. ♠ Se sabe que todo cuerpo es un dominio de...