Anillos Factoriales

Cap´ ıtulo 2

Anillos factoriales.
En este cap´ ıtulo estudiaremos en t´rminos abstractos la noci´n de factorizaci´n en proe o o ducto de primos. Para ello necesitamos fijar una serie de conceptos.

2.1.

Divisibilidad.

Sea A un dominio, y sean r, s ∈ A. Decimos que: 1. Si 0 = r, entonces r divide a s, denotado r | s, si existe t ∈ A tal que s = rt. 2. r y s son asociados, denotado r ∼s, si r = s = 0 o r, s = 0 y existe u ∈ U (A) tal que r = su. 3. r es ´tomo (o irreducible) si 0 = r, r ∈ U (A), y si r = ab, entonces o a o b es invertible. a Ejemplo 2.1.1 En Z: 1. n ∼ m si y solo si n = ±m. 2. r es ´tomo si y solo si es primo. a Lema 2.1.2 Si A es dominio y a, b ∈ A, son equivalentes: 1. a ∼ b 2. < a >=< b > 3. a | b y b | a. ´ Demostracion. (1) ⇒ (2). Como existe u ∈ U (A) talque b = au, es claro que < a >⊆< b >. Como a = bu−1 , tambi´n < b >⊆< a >. e (2) ⇒ (3). Como < a >=< b >, b ∈< a >, de donde b = at, y an´logamente a ∈< b >, a de donde a = bs. (3) ⇒ (1). Por hip´tesis existen r, s ∈ A tales que b = ar y a = bs. As´ a1 = a = bs = o ı, a(sr). Como A es dominio, 1 = sr, de donde s, r ∈ U (A), y por tanto a ∼ b.

Lema 2.1.3 Sea A es un dominio, y sea a = 0∗, a ∈ U(A). Si < a > es ideal primo, entonces a es un atomo. ´ 19

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Cap´ ıtulo 2. Anillos factoriales.

´ Demostracion. Supongamos que a = bc. Entonces bc ∈< a >, y como el ideal es primo, b ∈< a > o c ∈< a >. Supongamos que b ∈< a >. Entonces b = at, y por tanto a = bc = a(ct). Como A es un dominio, 1 = ct, de donde c ∈ U (A). √ √ Observemos que el rec´ ıproco es falso: 2 ∈ Z[ −5] es un ´tomo,pero 2Z[ −5] no √ un a es √ √ √ √ ideal primo, ya que 6 = (1 + −5)(1 − −5) ∈ 2Z[ −5], siendo (1 + −5), (1 − −5) a ´tomos no asociados a 2. Definici´n 2.1.4 Sea A un dominio y sean a, b ∈ A∗ . Un m´ximo com´n divisor de a y b o a u es un elemento d ∈ A∗ tal que: 1. d | a y d | b. 2. Si d ∈ A, d | a y d | b, se tiene que d | d. Notaci´n: Si d es un m´ximo com´n divisor de a y b lo denotaremos por d= mcd(a, b). o a u Ejemplo 2.1.5 2 = mcd(4, 6) − 2 = mcd(4, 6).

Proposici´n 2.1.6 Sea A un dominio. Si d1 y d2 son m´ximos comunes divisores de a y o a b, entonces d1 ∼ d2 ´ Demostracion. Si d1 y d2 son mcd(a, b), entonces d2 | d1 y d1 | d2 , de donde d1 ∼ d2 . Algunos resultados utiles de f´cil demostraci´n son los siguientes. ´ a o Proposici´n 2.1.7 Sea A un dominio, y sean a, b, c, d ∈ A∗ .Entonces, o 1. mcd(ac, bc) ∼ [mcd(a, b)]c. 2. Si mcd(a, b) ∼ d, entonces mcd(a/d, b/d) ∼ 1. 3. Si a | b, entonces mcd(a, b) ∼ a. Definici´n 2.1.8 Sea A un dominio, y sean a, b ∈ A∗ . Un m´ o ınimo com´n m´ltiplo de a y u u b es un elemento m ∈ A∗ tal que: 1. a | m, b | m. 2. Si m ∈ A, tal que a | m y b | m , se tiene que m | m . Notaci´n: Si m es un m´ o ınimo com´n m´ltiplo de a y b lo denotaremospor m = mcm(a, b). u u Proposici´n 2.1.9 Sea A un dominio de integridad, a, b ∈ A∗ . Si d = mcd(a, b) y m = o mcm(a, b), entonces dm ∼ ab. ´ Demostracion. Como d | a y d | b, existen x, y ∈ A tales que a = dx, b = dy. As´ bx = dyx ı, y ay = dxy, de donde bx = ay, luego bx es un m´ltiplo com´n de a y b. Por tanto m | bx u u de donde existe m ∈ A tal que mm = bx. As´ mm d = b(dx), y por tanto mm d= ba. Por ı, tanto md | ab. Por otra parte, a | m, b | m, por lo que m = au = bv para ciertos u, v ∈ A. As´ ı dm = [mcd(a, b)]m ∼ mcd(am, bm) = mcd(abv, aub) ∼ ab[mcd(v, u)] luego ab | dm.

2.2 Dominios Eucl´ ıdeos

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2.2.

Dominios Eucl´ ıdeos
ϕ : A∗ −→ N

Definici´n 2.2.1 Un dominio A es un Dominio Eucl´ o ıdeo si existe una aplicaci´n o

que satisface: 1. ϕ(x) ≤ ϕ(xy), para todox, y ∈ A∗ . 2. ∀x, y ∈ A, y = 0, existen q, r ∈ A tales que x = yq + r, con r = 0 ´ ϕ(r) < ϕ(y). o A la funci´n ϕ la denominamos norma eucl´ o ıdea. Notemos que q, r no tienen por qu´ ser e unicos: En Z, ´ −19 = 4 · (−4) + (−3) = 4(−5) + 1. Ejemplo 2.2.2 1. El anillo Z con la funci´n ϕ(z) = |z|. o 2. Si k es un cuerpo, entonces k[x] es un anillo euclideo con la norma ϕ(f (x)) = 2deg(f (x)) . 3....