Anillos Y Módulos Noheterianos

Introducción
La idea de este Seminario es que el lector interesado cuente con material que le sirva como guía de consulta. Para la realización de este Seminario se tuvo como base principal el Capítulo I, sobre el cual desarrollaremos con mayor profundidad los otros Capítulos. El Capítulo sobre los preliminares (Capitulo I), fue hecho como un Capitulo introductorio al Capítulo de Anillos yMódulos Noetherianos. El Capítulo sobre Condiciones de Cadena (Capítulo II) es una base fundamental para el Capítulo III y Capítulo IV, ya que nos proporciona ciertos conocimientos y herramientas suficientes para determinar si un Anillo y Módulo son Noetherianos. El Capítulo III y el Capitulo IV, trata sobre el tema central de este seminario que son los Anillos y Módulos Noetherianos. El Capítulo IVconcluye con el teorema de la base de Hilbert que es muy importante para determinar si un Anillo es Noetheriano

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ÍNDICE
Introducción ……………………………………………… 2

Capítulo I
Preliminares 1. Teoría de Grupos 2. Subgrupos 3. Homomorfismo de Grupos 4. Anillo …………………………………………..… …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. 5 7 8 8 12 13 13 15 18 21 22

5. Anillos sin Divisores de cero…………………………………………….. 6. Subanillos 7. Ideales 8. Homomorfismo de Anillos 9. Módulos 10. Submódulos ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………….

11. Homomorfismo de Módulos ………………………………………………. 12. Producto Directo y Suma Directa de Módulos 13. Módulos de tipo Finito 14. Sucesiones Exactas ……………………………………………….. ………………………………………………..………………………………………………..

23 23 26 2

Capítulo II
Condiciones de Cadena ………………………………………………… 34 34 34 Conjunto Parcialmente Ordenado………………………………………………… Sucesión Creciente Estacionaria …………………………………………………

Capítulo III
Anillos Noetherianos ………………………………………………… 47

Capítulo IV
Módulos Noetherianos Teorema de la Base de Hilbert ………………………………………………… ………………………………………………… 51 57

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CAPITULO I
PRELIMINARES
1. TEORIA DE GRUPOS
Definición1.1.1: Sea un conjunto no vacío G , y una función  . El par  G,  es una grupo si y solo si  es una ley de composición interna en G , asociativa, con neutro y tal que todo elemento de G admite inverso con respecto a  . En forma simbólica se tiene:

 G , 

es un grupo si y solo si se verifican los siguientes axiomas.

(G1) Cerradura:

 a, b  G, entonces a  b  G
 : GG  G

a, b 
(G2) Asociativa:

  a, b   a  b,

 a, b  G

 a, b, c  G, entonces  a  b   c  a   b  c 

(G3) Existencia del elemento Neutro o Identidad:

 e  G tal que a  e  e  a  a, a  G
(G4) Existencia del Inverso:

 a  G,  b  G tal que a  b  b  a  e

Si además se verifica que: (G5) Conmutativa:

a  b  b  a,

 a, b  G

Entonces el grupo sellama conmutativo o abeliano. 4

Ejemplo 1: Sea G  , el conjunto de los números enteros con la suma usual en los enteros.

:

  (a, b) (a, b)  a  b,

 a, b 

Decimos que



,   es un grupo abeliano aditivo.

De igual manera Ejemplo 2: Sea G 



,  ,  ,  y



,   son grupos abelianos aditivos.

el conjunto de los números naturales con la suma usual enlos naturales

:

  (a, b) (a, b)  a  b,

 a, b 

Decimos que aditivo. Ejemplo 3: Sea



,   no es un grupo pues carece de neutro aditivo y de inverso

n  1, n  , entonces el conjunto

n

 0, 1, 2,



, n 1



de los enteros

módulo n , es un conjunto que tiene n clases de equivalencias, se define:
:
n



n



n

(a , b )

(a , b )  a b,
n

 a,b 

n

Luego, se tiene que Ejemplo 4:



,   es un grupo abeliano.

Sea X   x1 , x2 , , xn  un conjunto finito, G   f : X  X tal que f es biyectiva y sea   (composición de funciones). Entonces  G, Ejemplo 5: Sea G  M n 



es un grupo llamado el n-ésimo grupo simétrico denotado por S n .

  aij  nn tal que aij...