Anillos

1) Hallar para que valores de l las operaciones dadas por:

Inducen en Z una estructura de anillo.
Respuesta 12
Consideramos que la primera de las operaciones debe dotar de estructura de grupo abeliano al conjunto Z. Tenemos:
Propiedad asociativa

Y se cumple la propiedad asociativa.
Existencia de elemento neutro:

Por lo tanto, el elemento neutro es el 6.
Elementos simétricos:Todos los elementos tienen simétrico por la izquierda y es de la forma indicada. Si se verifica la propiedad conmutativa no es necesario desarrollar las anteriores propiedades por la derecha:

Y, por lo tanto, al verificarse la propiedad conmutativa queda demostrado que todos los elementos tienen simétrico.
Ley de simplificación:

Y puesto que se cumple la ley conmutativa, podemos decir que todoslos elementos son regulares a izquierda y derecha.
La estructura estudiada si es un grupo abeliano.
Queda por demostrar para que valores del induce la segunda ley estructura de semigrupo en Z y ver después, en los casos encontrados, si la ley es distributiva respecto a la primera.
En primer lugar, la ley es interna para todo l perteneciente a Z.
Propiedad asociativa:

Igualando las dosúltimas expresiones y simplificando:

Por lo tanto, la ley es asociativa para los dos valores del obtenidos.
Comprobar que la ley es conmutativa para cualquier valor de l es un ejercicio sencillo, por lo que haremos será ver si esta segunda ley es distributiva respecto a la primera para los valores obtenidos. 
Tenemos por un lado:

Y por otro:

Sustituyendo l por -6 (o por 7) en ambosresultados, obtenemos que en el primer caso la segunda ley es distributiva respecto a la primera y en el segundo caso no lo es.

Resumiendo, podemos decir que es un anillo conmutativo para las leyes definidas en el enunciado, si y solo si l = -6.

2) En el conjunto P de los números pares se definen dos operaciones, una de ellas es la adición ordinaria y a otra está definida en la forma:

Demostrarque (P, +, *) tiene estructura de anillo.
Respuesta 13
La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto P de Z sea subanillo de (Z, +, *) es que sea subgrupo para la suma y estable para el producto. Sabemos que (Z, +) es un grupo abeliano, por lo tanto, si (P, +) cumple:

Será subgrupo abeliano de (Z, +).
Resolviendo tenemos:

Y, por lo tanto, (P, +) tiene estructura de grupoabeliano.
La segunda de las leyes cumple las siguientes propiedades.
Ley interna en P:

Propiedad asociativa:

Propiedad conmutativa:

Distributividad respecto de la primera ley:

Según todo lo visto, podemos decir que (P, +, *) tiene estructura de anillo conmutativo.

3) Demostrar que el conjunto de los elementos de un anillo A que permutan con un elemento a de dicho anillo es un subanillode A.
Respuesta 14
El conjunto dado será de la forma:

Para que un subconjunto de A sea subanillo debe cumplir:

Demostramos el apartado 1º) Vamos a considerar el elemento (x - y) de A. Tenemos:
(x – y).a = x•a – y•a = a•x – a•y = a•(x – y)
Puesto que el elemento (x – y) permuta con a, podemos decir que (x – y) pertenece al conjunto S.
Demostramos el apartado 2º) Consideramos el elementox•y de A. Tenemos:
(x•y)•a = x•(y•a) = x•(a•y) = (x•a)•y = (a•x)•y = a•(x•y)
Puesto que el elemento (x•y) permuta con a, podemos decir que (x•y) pertenece al conjunto S.
Según todo lo visto, podemos decir que el conjunto S es un subanillo de (A, +, •)

4) Demostrar que todo anillo con un número finito de elementos, en el que existe un elemento a que no es divisor de cero a la izquierda y unelemento b que no es divisor de cero a la derecha, tiene elemento unidad.
Respuesta 15
El que un elemento de un anillo NO sea un divisor de cero por la izquierda (respectivamente por la derecha) implica:

Definimos una aplicación llamada traslación a izquierda (respectivamente derecha) de un elemento a, en la forma:

Vamos a ver que la aplicación Ta es biyectiva.
Ta inyectiva.- 

Como...